Grundlagen Elektrotechnik 2
02 Wechselgrößen
Prof. Dr. Jörg Vollrath
Rückblick und Heute
- Bücher, L Laufwerk, Internetseite
- Test A Wechselgröße
- Oszilloskop, Electronic Explorer
Trigger: Quelle, x-Achse: Zeit, y-Achse: Spannung
- Periodendauer T, Frequenz f, Gleichwert \( \overline{u} \), Effektivwert U
Heute:
- Gleichgröße, pulsierende Gleichgröße, Mischgröße, Wechselgröße
- Beispielrechnung Wechselgröße
- Geradengleichung
- Integration
mathematisch, numerisch: Excel, LTSPICE
Strom- und Spannungsformen
Kenngrößen
\( Schwingungsgehalt = \frac{Effektivwert des Wechselanteils}
{Effektivwert der Mischgröße} \)
\( Effektive Welligkeit = \frac{Effektivwert des Wechselanteils}
{Gleichwert der Mischgröße} \)
\( Riffelfaktor = \frac{Scheitelwert des Wechselanteils}
{Gleichwert der Mischgröße} \)
\( Formfaktor = \frac{Effektivwert}{Gleichrichtwert} \)
Effektivwert der Mischgröße: Wurzel der Summe der Quadrate der Effektivwerte
Beispiel Mischgröße
Berechnen Sie den Gleichwert und den Effektivwert folgender Größe.
Abschnittsweise Geradengleichung
Integralbildung
|
|
Abschnittsweise Geradengleichung
2 Punkte: (x1,y1), (x2, y2)
(x1,y1) = (4,5),
(x2, y2) = (8, 13)
Steigung: \( \frac{dy}{dx} = \frac{y2-y1}{x2-x1} = 2 \)
Gleichung: \( y = y1 + \frac{dy}{dx} \left( x - x1 \right) \)
\( y = 5 + 2 \cdot \left( x - 4 \right) \)
Verifikation:
x = x1 : \( y(x1) = y1 + \frac{dy}{dx} \left( x1 - x1 \right) = y1 \)
x = x2 : \( y(x2) = y1 + \frac{dy}{dx} \left( x2 - x1 \right) = y1 + y2 - y1 = y2\)
|
|
Integralrechnung
Listen:
\( \int cos(ax) dx = \frac{1}{a} sin(ax) \)
\( \int sin(ax) dx = - \frac{1}{a} cos(ax) \)
\( \int cos^2 (ax) dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4a} sin(2 a x) \)
\( \int sin^2 (ax) dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4a} sin(2 a x) \)
\( \int a + b x + c x^2 dx = a x + b \frac{x^2}{2} + c \frac{x^3}{3} \)
Regeln:
\( \int a \cdot x dx = a \int x dx \)
\( \int a + b x + c x^2 dx = \int a dx + \int b x dx + \int c x^2 dx \)
\( \int_{x0}^{x1} f(x) dx = \left[ F(x) \right] = F(x1) - F(x0) \)
\( \int_{x0}^{x2} f(x) dx = \int_{x0}^{x1} f(x) dx + \int_{x1}^{x2} f(x) dx \)
Numerische Integration
Es wird über eine Periode T integriert.
Die Periode T wird in n Abschnitte \( \frac{T}{n} \) geteilt.
Nach der Regel:
\( \int\limits_{x0}^{x2} f(x) dx = \int\limits_{x0}^{x1} f(x) dx + \int\limits_{x1}^{x2} f(x) dx \)
mit der Annahme die Funktion sei in einem sehr kleinen Abschnitt \( \frac{T}{n} \) näherungsweise konstant,
ergibt sich:
\( \int_{x0}^{x2} f(x) dx = \frac{T}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} y_i \)
Dies Verfahren wird bei Oszilloskopen angewendet.
Man kann es auch mit Excel oder einer Programmiersprache (JavaScript) durchführen.
Beispiel Mischgröße
Berechnen Sie den Gleichwert und den Effektivwert folgender Größe.
10n,3,1,4,0,1,2,-4,1,-2,0,1,0,0
⇒ Wechselgrößen
|
|
Abschnittsweise Geradengleichung
\( u(t) = \cases{ 4 V & \text{ für } \text{0 ns }+ n\cdot T \lt t \lt 10 ns+n\cdot T\cr
2 V -0.4 \frac{V}{ns} \cdot \left( t - 10ns \right) & \text{ für } \text{10 ns }+ n\cdot T \lt t \lt 20 ns+n\cdot T\cr
-2 V & \text{ für } \text{20 ns }+ n\cdot T \lt t \lt 30 ns+n\cdot T\cr
0 V & \text{ für } \text{30 ns }+ n\cdot T \lt t \lt 40 ns+n\cdot T\cr } \)
Integralbildung mit verschobenen Grenzen
\( \overline{U} = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} u(t) dt
= \frac{1}{T} \left( \int\limits_{0}^{10ns} \left( 4 V \right) dt
+ \int\limits_{0}^{10ns} \left( 2 V -0.4 \frac{V}{ns} \cdot t \right) dt
+ \int\limits_{0}^{10ns} \left( -2 V \right) dt
+ \int\limits_{0}^{10ns} \left( 0 V \right) dt \right) \)
\( U_{eff} = \sqrt{ \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} u^2(t) dt }
= \sqrt{ \frac{1}{T} \left( \int\limits_{0}^{10ns} \left( 4 V \right)^2 dt
+ \int\limits_{0}^{10ns} \left( 2 V -0.4 \frac{V}{ns} \cdot t \right)^2 dt
+ \int\limits_{0}^{10ns} \left( -2 V \right)^2 dt
+ \int\limits_{0}^{10ns} \left( 0 V \right)^2 dt \right) } \)
Numerische Lösung zur Ergebnisverifikation
| | A | B | C | D |
| 1 | x | y | Integral | quadratisches Integral |
| 2 | 0 | 4 | 4 * ( 1 - 0 ) | 4 * 4 *( 1 - 0 ) |
| 3 | 1 | 4 | 4 * ( 2 - 1 ) | 4 * 4 *( 2 - 1 ) |
| . | . | . | y * ( xn+1 - xn ) | y * y * ( xn+1 - xn ) |
| . | . | . | y * ( xn+1 - xn ) | y * y * ( xn+1 - xn ) |
| 42 | 40 | -2 | | |
|
Gleichwert: 0.55
=SUMME(C:C)/40
=WURZEL(SUMME(D:D)/40)
|
Excel Funktion für Spalte B (y):
4 Abschnitte mit der WENN Funktion.
=WENN(REST(A2;40)<10;4;
WENN(REST(A2;40)<20;2-4/10*(REST(A2;40)-10);
WENN(REST(A2;40)<30;-2;0)))
Die numerische Genauigkeit ist abhängig von der Schrittweite.