Hochschule Kempten      
Fakultät Elektrotechnik      
Elektrotechnik 2       Fachgebiet Elektronik, Prof. Vollrath      

Grundlagen Elektrotechnik 2

05 Komplexe Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen

Prof. Dr. Jörg Vollrath





Rückblick und Heute

LTSPICE


Heute:

Sinusgrößen unterschiedlicher Frequenz

\( u(t) = \hat{u}_1 cos(\omega_1 t + \phi_{u1}) + \hat{u}_2 cos(\omega_2 t + \phi_{u2} ) \)

  • Graphische, numerische Lösung
    • Excel, SPICE
  • 1. Sonderfall:
    • \( T_1 = n T_2 \) mit n = 1, 2, 3, ..
    • Resultierende Periode: \( T = T_1 \)
  • 2. Sonderfall:
    • Differenz f1 und f2 klein: Schwebung (beat)
    • \( \hat{u}_1 = \hat{u}_2 \)
    • Mit \( \omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \), \( \Delta \omega = \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} \)
    • \( \phi = \frac{\phi_{u1} + \phi_{u2}}{2} \), \( \Delta \phi = \frac{\phi_{u1} - \phi_{u2}}{2} \)
    • \( cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    • \( u(t) = \hat{u}_1 cos ( \Delta \omega t + \Delta \phi) cos ( \omega t + \phi ) \)

Überlagerung von Sinusgrößen gleicher Frequenz


\( u(t) = u_1 (t) + u_2 (t) \)
\( u(t) = \hat{u} cos ( \omega t \phi_u ) \)     \( u(t) = \hat{u}_1 cos ( \omega t \phi_{u1} ) + \hat{u}_2 cos ( \omega t \phi_{u2} ) \)
mit: \( cos( \alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta \)
\( u(t) = \hat{u} ( cos \phi_u cos \omega t - sin \phi_u sin \omega t ) \)
\( u(t) = \hat{u}_1 ( cos \omega t cos \phi_{u1} - sin \phi_{u1} sin \omega t ) + \hat{u}_2 ( cos \omega t cos \phi_{u2} - sin \phi_{u2} sin \omega t ) \)
\( u(t) = ( \hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2} ) cos \omega t ) - ( \hat{u}_1 sin \phi_{u1} ) sin \omega t ) \)
Koeffizientenvergleich für \( sin \omega t \) und \( cos \omega t \) :
(1) \( \hat{u} cos \phi_u = \hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2} \)
(2) \( \hat{u} sin \phi_u = \hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2} \)
Bestimmung des Winkels aus dem Quotienten \( \frac{(1)}{(2)} \):
\( \frac{\hat{u} sin \phi_u}{\hat{u} cos \phi_u} = \frac{\hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2}} {\hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2}} \)
\( \phi_u = arctan \left( \frac{\hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2}} {\hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2}} \right) \)
Bestimmung der Amplitude aus \( (1)^2 + (2)^2 \)
\( \left( \hat{u} cos \phi_u \right)^{2} + \left( \hat{u} sin \phi_u \right)^{2} = \left( \hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2} \right)^{2} + \left( \hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2} \right)^{2} \)
\( \hat{u} = \sqrt{ \left( \hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2} \right)^{2} + \left( \hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2} \right)^{2} } \)
\( \hat{u} = \sqrt{ \left( \hat{u}_1 cos \phi_{u1}\right)^{2} + \left( \hat{u}_2 cos \phi_{u2} \right)^{2} + 2 \hat{u}_1 cos \phi_{u1} \hat{u}_2 cos \phi_{u2} + \left( \hat{u}_1 sin \phi_{u1} \right)^{2} + \left( \hat{u}_2 sin \phi_{u2} \right)^{2} + 2 \hat{u}_1 sin \phi_{u1} \hat{u}_2 sin \phi_{u2} } \)
\( sin^{2} \phi + cos^{2} \phi = 1 \)
\( cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta = cos ( \alpha - \beta) \)
\( \hat{u} = \sqrt{ \left( \hat{u}_1 \right)^{2} + \left( \hat{u}_2 \right)^{2} + 2 \hat{u}_1 \hat{u}_2 cos(\phi_{u2} - \phi_{u1}) } \)

Beispiel: Überlagerung von Sinusgrößen gleicher Frequenz


Zwei Quellen mit sinusförmiger Quellenspannung gleicher Frequenz sind in Reihe geschaltet.

\( \hat{u}_{q1} = 50 V; \phi_{u1} = 80°; f_1 = 50 Hz; \) \( \phi = \frac{80°}{180°} \cdot \pi = 1.3298 \)
\( \hat{u}_{q2} = 30 V; \phi_{u2} = 15°; f_2 = 50Hz; \)

Simulieren Sie mit SPICE und berechnen Sie die Amplitude und den Nullphasenwinkel der Klemmenspannung und zeichnen Sie die Liniendiagramme sämtlicher Spannungen. \( \hat{u} = \sqrt{ \left( \hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2} \right)^{2} + \left( \hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2} \right)^{2} } \)
\( \hat{u} = \sqrt{ \left( 37.66 V \right)^{2} + \left( 57 V \right)^{2} } = 63.5 V \)
\( \phi_u = arctan \left( \frac{\hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2}} {\hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2}} \right) = 50.92° \)

Zeigerdarstellung


  • Zeiger (phasor)
    • Unterstreichung: \( \underline{\hat{u}} \)
    • Zeitpunkt: t=0
  • Bezugsachse

Addition im Zeigerdiagramm


Komplexe Symbole


  • Nachteil Zeigerdiagramm: Zeichengenauigkeit
  • Mathematische Beschreibung von Zeigern: komplexe Zahlen
    \( \underline{\hat{u}} = a + j b \) mit \( j = \sqrt{-1} \)
  • Bezugsachse ist die reelle Achse
  • Zeitpunkt t = 0
    • Realteil: \( \hat{u} cos \phi_u \)
    • Imaginärteil: \( \hat{u} sin \phi_u \)
  • Spannung in der komplexen Ebene
    • \( \underline{u}(t) = \hat{u} cos(\omega t + \phi_u) + j \hat{u} sin( \omega t + \phi_u ) \)
  • Eulersche Gleichung
    \( e^{j \phi} = cos \phi + j sin \phi \)
  • \( \underline{u}(t) = \hat{u} e^{j(\omega t + \phi_u)} \)
  • Vollständiges komplexes Symbol