Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)23 Bode DiagramProf. Dr. Jörg Vollrath22 Smith Chart |
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Video GET2 01 Einführung kompakt
Video der 19. Vorlesung 8.6.2021
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Länge: 1:22:04 |
0:0:0 Evaluierung 0:0:0 Differenzverstärker 0:2:0 Eingangs und Ausgangswiderstand |
Übersicht
- Frequenzgang
- Maß, Betrag, Phase
- Amplitudengang, Phasengang, Pole, Nullstellen
Ziele Frequenzgang
- die Begriffe Frequenzgang, Amplitudengang und Phasengang an Beispielen erläutern.
- ein Beispiel für ein Übertragungssystem nennen.
- für ein Übertragungssystem einen Übertragungsfaktor definieren.
- für ein einfaches elektrisches Netz die Übertragungsfunktion berechnen.
- die Bezeichnung Dezibel erläutern
- den Frequenzgang einer Größe mit dem BODE-Diagramm darstellen.
Frequenzgang Inhalt
- Übertragungsfaktor und Dämpfungsfaktor
- Spannungsübertragungsfaktor
- Stromübertragungsfaktor
- Betriebsübertragungsfaktor
- Betriebsdämpfungsfaktor
- Logarithmierte Größenverhältnisse
- Dezibel und Neper
- Pol Nullstellen Plan
- Bode Diagramm
Frequenzgangsfunktionen und Übertragungssystem
- Frequenzgangsfunktionen
- Nachrichtenübertragungssysteme (transmission systems)
- Signale (signal)
- Beispiel: Strom einer Spule, Spannung eines Kondensatormikrofons
- Komponenten eines Übertragungssystem
- Sender (transmitter)
- Übertragungskanal (transmission channel)
- Empfänger (receiver)
- Nachrichtenquelle
- Leitung
- Nachrichtensenke
- Signale: Spannungen, Ströme
Übertragungsfaktor und Dämpfungsfaktor
- Übertragungsfaktor (transfer function)
- Quotient aus Ausgangs- und Eingangsgröße
- Übertragungsfaktor
- \( \underline{T}_{21} (j \omega ) = \frac{\underline{U}_{2} (j \omega ) }{\underline{U}_{1} (j \omega )} \)
- \( \underline{T}_{V1} (j \omega ) = \frac{\underline{I}_{V} (j \omega ) }{\underline{U}_{1} (j \omega )} \)
- Dämpfungsfaktor (attenuation function)
- \( \underline{D}_{qV} (j \omega ) = \frac{\underline{U}_{q} (j \omega ) }{\underline{U}_{V} (j \omega )} \)
- Dämpfungsfunktion
Amplitudengang und Phasengang
- Definition: Frequenzgang:
- Eine Netzfunktion der Abhängigkeit einer Sinusfunktion oder eines Quotienten von der Frequenz
- Gleichung, Kurve, Tabelle
- Amplitudengang
- Phasengang
- Normierung: Bezug auf Quellengrößen
Bode Diagram, Pole und Nullstellen
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\( \frac{\underline{U}_{A}}{\underline{U}_E} = \frac{R_1}{L_1} \frac{1}{j \omega + \frac{R_1}{L_1} } \) |
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\( \underline{T} (j\omega) = K \frac{(j \omega - s_{N1})(j \omega - s_{N2})...(j \omega - s_{Nm})}
{(j \omega - s_{P1})(j \omega - s_{P2})...(j \omega - s_{Pn}) } \) | ||
- Eine Übertragungsfunktion kann in einen Übertragungsfaktor \( \underline{T} (j \omega) \) mit Polen sPi und Nullstellen sNi überführt werden.
- Diese Darstellung erlaubt es ein Bode Diagramm zu erstellen.
- Frequenzgang: x-Achse: log(f) y-Achse: \( log( |\underline{t}(j \omega ) |) \) Maß
- Phasengang: x-Achse: log(f) y-Achse: φ
Übertragungsfunktion und Maß
Übertragungsfunktion (Transfer function)
\( \underline{T} (j\omega) = \frac{\underline{U}_{out}}{\underline{U}_E} = \frac{j \omega + \frac{R2}{L1} }{j \omega + \frac{R1 + R2}{L1} } = \frac{j \omega - s_{N1} }{j \omega - s_{P1} } \)
Die Übertragungsfunktion setzt sich aus Faktoren (jω - sNi) und (jω - sPi)-1 zusammen.
Das Maß in Dezibel ist definiert als
\( 20 log_{10} \left| \frac{\underline{U}_A}{\underline{U}_E} \right| dB \)
Die Übertragungsfunktion als Maß ist dann:
\( A(j\omega) = 20 log_{10} \left| j \omega + \frac{R2}{L1} \right| dB - 20 log_{10} \left| j \omega + \frac{R1 + R2}{L1} \right| dB \)
Die Übertragungsfunktion stellt das Maß in Dezibel (dB) und die Phase über der logarithmischer Frequenz dar.
Durch die obige Form kann man die Übertragungsfunktion als Maß mit einer logarithmischen Frequenz schnell zeichnen.
Man beachte dass negative Vorzeichen beim Maß für den Nenner.
Jede Übertragungsfunktion wird so umgeformt, dass im Zähler und Nenner ein Polynom von jω steht.
Durch suche der Nullstellen kann man dieses Polynom dann zerlegen.
z.B. (jω)2 + 2 Re jω + Re2 = (jω + Re )2
Die Übertragungsfunktion setzt sich dann aus einzelnen Termen von jω zusammen.
Die einzelnen Terme werden graphisch addiert (subtrahiert).
Da jω in der Elektrotechnik als s abgekürzt wird und der obige Term (jω + sNi) sich wie eine Nullstelle (Ni verhält, ergibt sich der Bezeichner sNi.
Für den Nenner (jω + sPi)-1 ergibt sich eine Polstelle (Pi)
Maße in Dezibel, die man sich merken sollte:
20 dB entsprechen einem Faktor 10.
6 dB entsprechen einem Faktor 2.
3 dB entsprechen einem Faktor \( \sqrt{2} \).
0 dB entsprechen dem Faktor 1.
Durch die obige Form kann man die Übertragungsfunktion als Maß mit einer logarithmischen Frequenz schnell zeichnen.
Man beachte dass negative Vorzeichen beim Maß für den Nenner.
Jede Übertragungsfunktion wird so umgeformt, dass im Zähler und Nenner ein Polynom von jω steht.
Durch suche der Nullstellen kann man dieses Polynom dann zerlegen.
z.B. (jω)2 + 2 Re jω + Re2 = (jω + Re )2
Die Übertragungsfunktion setzt sich dann aus einzelnen Termen von jω zusammen.
Die einzelnen Terme werden graphisch addiert (subtrahiert).
Da jω in der Elektrotechnik als s abgekürzt wird und der obige Term (jω + sNi) sich wie eine Nullstelle (Ni verhält, ergibt sich der Bezeichner sNi.
Für den Nenner (jω + sPi)-1 ergibt sich eine Polstelle (Pi)
Maße in Dezibel, die man sich merken sollte:
20 dB entsprechen einem Faktor 10.
6 dB entsprechen einem Faktor 2.
3 dB entsprechen einem Faktor \( \sqrt{2} \).
0 dB entsprechen dem Faktor 1.
Untersuchung der Übertragungsfunktion als Maß
\( A(j\omega) = 20 log_{10} \left| j \omega + \frac{R2}{L1} \right| dB - 20 log_{10} \left| j \omega + \frac{R1 + R2}{L1} \right| dB \)
Für die Zeichnung untersucht man für jeden Term: jω + Re, ob ω viel größer als der Realteil Re ist oder viel kleiner.
j ω >> Re: \( 20 log_{10} | j \omega | \)
Wenn sich ω um den Faktor 10 ändert, ändert sich das Maß um 20 dB. Eine Gerade mit Steigung 20 dB pro Dekade (Faktor 10).
j ω << Re : \( 20 log_{10} | Re | \)
Der Betrag ist konstant. Eine Gerade mit Steigung 0.
Der Übergang dieser Funktionen passiert, wenn | jω | = Re ist (Eckfrequenz).
3dB Eckfrequenz
Untersuchung von
\( 20 log_{10} \left| j \omega - s_{N1} \right| dB \)
für | jω | = Re
\( 20 log_{10} \left( \sqrt{ Re^2 + Re^2} \right) dB = 20 log_{10} \left( \sqrt{2} \cdot Re \right) dB \)
\( = 20 log_{10} \left( \sqrt{2} \right) dB + 20 log_{10} \left(Re \right) dB \)
\( = 3 dB + 20 log_{10} \left(Re \right) dB \)
Die reale Übertragungsfunktion als Maß weicht an der Eckfrequenz um 3 dB von den idealisierten Geraden ab.
Der Phasengangs der Übertragungsfunktion
Untersuchung von
\( \underline{T} (j\omega) = \frac{\underline{U}_{out}}{\underline{U}_E} = \frac{j \omega + Re_Z }{j \omega + Re_N } = \frac{j \omega - s_{N1} }{j \omega - s_{P1} } \)
\( \phi (j\omega) = atan\left(\frac{\omega}{Re_Z}\right) - atan\left(\frac{\omega}{Re_N}\right)\)
j ω >> Re: \( atan\left(\frac{\omega}{Re}\right) = 90° \)
j ω << Re : \( atan\left(\frac{\omega}{Re}\right) = 0° \)
j ω = Re: \( atan\left(\frac{Re}{Re}\right) = 45° \)
Für die Zeichnung untersucht man für jeden Term: jω + Re,
ob ω viel größer als der Realteil Re ist oder viel kleiner.
Für j ω >> Re ist der Winkel konstant 90° (π/2).
Für j ω << Re ist der Winkel konstant 0° (0).
Der Übergang dieser Funktionen passiert, wenn | jω | = Re ist (Eckfrequenz).
Für j ω = Re: ist der Winkel ist 45° (π/4).
Bei einem Faktor 10 für ω ist jω >> Re oder jω << Re.
Man kann beim Zeichnen also die Punkte für f3dB, 1/10 f3dB und 10 f3dB einzeichnen.
Die Umrechnung von Bogenmaß in Grad erfolgt mit:
π = 180°
\( \phi_B = \frac{\phi_{Grad}}{180} \cdot \pi \)
\( \phi_{Grad} = \frac{\phi_B}{\pi} \cdot 180° \)
Für j ω >> Re ist der Winkel konstant 90° (π/2).
Für j ω << Re ist der Winkel konstant 0° (0).
Der Übergang dieser Funktionen passiert, wenn | jω | = Re ist (Eckfrequenz).
Für j ω = Re: ist der Winkel ist 45° (π/4).
Bei einem Faktor 10 für ω ist jω >> Re oder jω << Re.
Man kann beim Zeichnen also die Punkte für f3dB, 1/10 f3dB und 10 f3dB einzeichnen.
Die Umrechnung von Bogenmaß in Grad erfolgt mit:
π = 180°
\( \phi_B = \frac{\phi_{Grad}}{180} \cdot \pi \)
\( \phi_{Grad} = \frac{\phi_B}{\pi} \cdot 180° \)
Zusammenfassung und nächstes Mal
- Übertragungsfunktion, Bode Diagramm
- Maß, Dezibel, Phase
- Konstruktion der Kurven
- Vierpole