Ersatzquellen


Berechnung einer Spannung unter Verwendung von Ersatzquellen


Folgendes Netzwerk ist gegeben:
\( \underline{U}_{1} = 38V \underline{/0°} \)
\( \underline{U}_{2} = 38V \underline{/120°} \)
f = 50Hz

Gesucht ist die Spannung \( \underline{U}_{3} \).
Man kann diese Aufgabe durch Superposition, Knotenpotentialanalyse oder Ersatzquellen lösen.

Bei der Superposition werden die Quellen nacheinander betrachtet. Es wird die gesuchte Größe berechnet, wenn nur eine Quelle aktiv ist und die anderen Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Unterbrechungen ersetzt werden. Die Überlagerung (Addition) aller berechneten Größen ergibt die Gesamtgröße.

Hier wird mit Hilfe der Ersatzquellen gerechnet. Zum besseren Verständnis werden die Schaltbilder der Zwischenschritte gezeichnet.
Bringt man die Spannungsquellen nach links und die gesuchte Spannung nach rechts, sieht man die Parallelschaltung der Quellen. Um die Quellen zusammen zu fassen müssen Sie in die äquivalenten Ersatzstromquellen umgerechnet werden.
Man berechnet die Kurzschlussströme:

\( \underline{I}_{1} = \frac{ \underline{U}_{1} }{R_1} \)
\( \underline{I}_{2} = \underline{U}_{2} j \omega C_2 \)

Die Ströme werden addiert, der Gesamtwiderstand und die Spannung berechnet:

\( \underline{U}_{3} = \frac{\underline{I}_{1} + \underline{I}_{2}} {\frac{1}{R_1}+ j \omega C_2 + \frac{1}{R_3 + \frac{1}{ j \omega C_3}}} \)
\( \underline{I} = \underline{I}_{1} + \underline{I}_{2} = 0.38 A - j 0.19 A - 0.329 A \)
\( \underline{I} = 0.059 A - j 0.19 A = 0.197 A \underline{/-75°} \)
Man benötigt noch den Gesamtwiderstand.

\( \underline{Y} = \frac{1}{R_1}+ j \omega C_2 + \frac{1}{R_3 + \frac{1}{ j \omega C_3}} \)
\( \underline{Y} = \frac{1}{R_1}+ \frac{R_3}{{R_3}^2 + \left( \frac{1}{ \omega C_3} \right)^2} + j \omega C_2 - \frac{\frac{1}{ j \omega C_3}}{{R_3}^2 + \left( \frac{1}{ \omega C_3} \right)^2} \)
\( \underline{Y} = 14 mS + j 12 mS = 18.4 mS \big/\!\!\!\underline{\;\,40.6°} \)
\( \underline{U}_{3} = \frac{\underline{I}}{\underline{Y}} = \frac{0.197 A \underline{/-75°}}{ 18.4 mS \big/\!\!\!\underline{\;\,40.6°}} = 10.7V \big/\!\!\!\underline{\;\,-115.6°} \)

Literatur


[1] Elektroniktutor Ersatzquelle
[2 ] Thevenin-Theorem Wikipedia