Aufgabe zur Netzfunktion und Ortskurve

Netzfunktion eines komplexen Widerstandes

In Netzen, die keine Sternschaltungen oder Dreiecksschaltungen enthalten, kann man folgendes Verfahren anwenden. Beginnend von der oberen Klemme verfolgt man die Verbindungen bis man an der unteren Klemme endet.
Als erstes stößt man auf eine Verzweigung, also auf eine Parallelschaltung, bei der die Leitwerte addiert werden. Die Netzfunktion beginnt mit einem Bruch: 1 geteilt durch die Summe der Leitwerte der beiden Zweige. Der erste Leitwert ist der Leitwert der Induktivität L. Der zweite Leitwert ist eine Reihenschaltung aus dem Widerstand R und der Kapazität C.

\( \underline{Z}(j \omega) = \frac{1}{\frac{1}{j \omega L} + \frac{1}{R+\frac{1}{j \omega C}}} \) \( \underline{Z}_{1}(j \omega) = R+\frac{1}{j \omega C} \)
\( \omega = 0 \) L: Kurzschluß C: Unterbrechung		\( \underline{Z}(j0) = 0 \Omega \)
\( \omega -> \infty \) L: Unterbrechung C: Kurzschluß		\( \underline{Z}(j \infty) = R \)

Lineare Achse für ω

Logarithmische Achse für ω

Grenzwertbetrachtung

Zum Zeichnen der Ortskurve benötigt man Stützstellen.
Anfangswerte, Endwerte und Schnittpunkte der Kurve mit der Realteilachse bieten sich an.

Ortskurvenentwicklung

Durch schrittweises Zusammenfassen kann die Ortskurve entwickelt werden. Zur Überprüfung kann die Ortskurve numerisch dargestellt werden. Man beginnt im Inneren des Netzwerks bei einer einfachen Parallel- oder Reihenschaltung. Hier ist es die Reihenschaltung von R und C, bei der man den Widerstand darstellt. Dann muss dieser Widerstand invertiert werden, um den entsprechenden Leitwert punktweise mit dem Leitwert der Induktivität zusammen zu fassen. Bei der Invertierung werden Halbgeraden, die nicht den Ursprung enthalten, zu Halbkreisen. Der Winkel einer komplexen Zahl ändert bei der Invertierung das Vorzeichen. Der Abstand eines Punktes von dem Ursprung wird bei Werten kleiner 1 größer und bei Werten größer 1 kleiner.

\( \underline{Z}_1 (j \omega) = R + \frac{1}{j \omega C} \)

\( \underline{Y} (j \omega) = \underline{Y}_1 (j \omega) + \frac{1}{j \omega L} \)

\( \underline{Z} (j \omega) = \frac{1}{\underline{Y} (j \omega) } \)

Literatur

[1] Ortskurve, Wkipedia