Wiederholung

Digitaltechnik
Komplexe Systeme können aus einfachen Elementen aufgebaut werden

Hierarchischer Entwurf
Systeme werden immer komplexer oder billiger
Auswirkungen auf die Wirtschaft

Diskrete, quantisierte, gerasterte Signale

Zeitdiskret, Spannungsdiskret, Stromdiskret
Binäre, duale Signale haben 2 Zustände
„0“,“1“; FALSCH (FALSE), WAHR (TRUE); 0V, 5V; Licht aus, an

Elektrotechnik:

Spannungsquellen werden mit Schaltern ein oder ausgeschaltet
Messung der Spannung
Für komplexere Schaltungen werden Signale mit digitalen Funktionsgeneratoren erzeugt und mit dem Oszilloskop oder Logikanalysator gemessen.

Fragen heute

Was kann ich mit dualen Signalen anfangen?

Wie kann ich Grundfunktionen auf verschiedene Arten darstellen?

Die Kombination mehrerer dualer Signale kann eine Funktion, eine Verknüpfung, eine Grundfunktion darstellen.
Jede Funktion hat Eingänge und Ausgänge.
Durch Zusammenfassung von mehreren dualen Signalen können Symbole erzeugt werden.
Mann kann eine Verknüpfung mathematisch als Gleichung, als Schaltzeichen, als Wahrheitstabelle, mit einer Programmiersprache symbolisch oder durch eine zeitliche Messung der Eingangs- und Ausgangssignale darstellen.

Gurtwarnlampe

Der Sitz ist besetzt.
Der Gurt ist nicht eingerastet
Das Auto fährt

Wenn der Sitz besetzt ist, der Gurt nicht eingerastet ist und das Auto fährt, leuchtet die Lampe und ein Warnton erklingt.

Eingänge

Besetzt (B), Gurt eingerastet (G), fahren (F)

Ausgänge

Lampe (L), Ton (T)

Verknüpfungen:

UND, NICHT

Die Digitaltechnik bildet eine Problembeschreibung in Eingänge, Ausgänge und Verknüpfungen ab.
Diese Verknüpfungen werden mit Transistoren in einer Schaltung realisiert.
Der Einfachheit halber werden Abkürzungen eingesetzt: B, G, F, L, T
Jeder Eingang und Ausgang ist entweder '0' oder '1'.

Ziele

Sie kennen die logischen Grundfunktionen.
Sie können logische Grundfunktionen auf verschiedene Arten darstellen.
Sie Wissen was eine Wahrheitstabelle ist.
Sie kennen die booleschen Gesetze.
Sie kennen die Schaltsymbole der logischen Grundfunktionen.

Darstellung boolescher Verknüpfungen

Schaltfunktion UND

Y = f(X1,X2) = X1 ^ X2 = X1 · X2
X1, X2: Eingangsvariablen
Y: Ausgangsvariable
^: Operationssymbol

Schaltzeichen, Schaltsymbol

Wahrheitstabelle

X1	X2	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Textuelle VHDL Beschreibung


entity und is port (
    X1,X2: in bit;
    Y: out bit);
end und;
architecture logic of und is
begin
    Y <= X1 and X2;
end

Schaltfunktionen

Ausgehend von der Mathematik wurden Symbole (^,v) für boolesche Funktionen eingeführt.
Diese Symbole waren leider zu Beginn der Datentechnik nicht bei dem darstellbaren ASCII Zeichensatz dabei.
Deshalb ist es immer noch schwierig diese Symbole in der elektronischen Datenverarbeitung darzustellen.
Programmiersprachen haben deshalb eigenen Notationen (+,·) mit Symbolen aus dem ASCII Zeichensatz entwickelt.

Schaltzeichen

Auch bei den Schaltzeichen gibt es unterschiedliche Zeichen. Es gibt einen IEC, einen ANSI und einen DIN Standard für Logikschaltzeichen.
Daneben wurden Programme zum zeichnen und simulieren von Schaltkreisen entwickelt. Das Programm LTSPICE, das in dieser Vorlesung verwendet wird benutzt Zeichen nach dem ANSI Standard. Mit einer Simulation mit LTSPICE kann die Funktion einer Digitalschaltung verifiziert werden.
Es gibt zwar die Möglichkeit in Programmen die vorhandenen Symbole zu ersetzen, in der Praxis erfordert dies jedoch zu viel Aufwand. Deshalb werden in dieser Vorlesung ANSI Symbole dargestellt. Der Vollständigkeit halber werden die anderen Darstellungsarten erwähnt.

Wahrheitstabelle

Die Wahrheitstabelle ist eine aufzählende Darstellung einer booleschen Verknüpfung.
Links stehen die Eingangssignale und rechts die Ausgangssignale.
Die möglichen Eingangskombinationen Z_n von n Signalen, die nur die 2 Zustände '1' und '0' haben können, ist:
Z_n = 2ⁿ. Deshalb gibt es genau 2ⁿ + 1 Zeilen inklusive Überschrift.
Um sicher zu stellen, dass man alle Eingangskombinationen aufzählt, werden die Zeilen systematisch gefüllt.
Man zählt im Dualsystem: 000, 001, 010, 011, 100, .. genauso, wie im Dezimalsystem.
Betrachtet man die Spalten der Eingangssignale hat die rechte Spalte eine Sequenz von 0,1,0,1,...
Die nächste Spalte links davon hat die Sequenz: 0,0,1,1,0,0,1,1,..
Würde man dies in einem zeitlichen Ablauf betrachten, hätte die zweite Spalte die halbe Frequenz der ersten Spalte.

VHDL

Boolesche Verknüpfungen können auch textuell dargestellt werden.
Die Hardware Description Languages (HDL) sehen aus, wie normale Programmiersprachen.
Es gibt statt Variablen Signale und Übergabeparameter werden als Signale mit dem Typ bit oder std_logic versehen.
Zuweisungen '=' können als Verbindungen '<=' dargestellt werden.
Da HDLs sehr alt sind, ist die textuelle Beschreibung etwas aufwendiger, als bei modernen Programmiersprachen.
Es gibt auch noch höhere Beschreibungsmittel für digitale Systeme z. B. SystemC, Matlab, Labview.
Für VHDL gibt es eine ähnliche Entwicklungsumgebung, wie für andere Programmiersprachen.
In VHDL werden im Praktikum Logikfunktionen und ein einfacher Zustandsautomat realisiert.

Darstellung boolescher Verknüpfungen NAND

Schaltfunktion

Y = f(X1,X2) = /(X1 ^ X2) = !(X1 · X2)
X1, X2: Eingangsvariablen
Y: Ausgangsvariable
^: Operationssymbol

Schaltzeichen, Schaltsymbol

Wahrheitstabelle

X1	X2	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Textuelle VHDL Beschreibung


entity NAND is port (
    X1,X2: in bit;
    Y: out bit);
end NAND;
architecture logic of NAND is
begin
    Y <= NOT(X1 and X2);
end

Boolesche Algebra Grundfunktionen

Schaltfunktion

Schaltsymbol

Wahrheitstabelle

UND, AND

Y = X1 ^ X2 = X1 · X2
Y <= X1 and X2;
y = X1 && X2;

X1	X2	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

ODER, OR

Y = X1 v X2 = X1 + X2
Y <= X1 or X2;
y = X1 || X2;

X1	X2	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Diese Grundfunktionen finden sich in Formelsammlungen wieder oder werden auswendig gelernt.
Die Namen entsprechen der erwartenden Funktion (sprechende Namen).
UND: Nur wenn Eingang X1 und Eingang X2 '1' sind ergibt sich am Ausgang eine '1'.
ODER: Immer wenn Eingang X1 oder Eingang X2 '1' ist ergibt sich am Ausgang eine '1'.

Boolesche Algebra Grundfunktionen

Schaltfunktion

Schaltsymbol

Wahrheitstabelle

NICHT, NOT

$Y = \overline{X} = !X = /X$
Y <= not (X);
Y = !X;

x	Y
0	1
1	0

Der Kreis markiert die Invertierung des Signals.
Zur vereinfachten Darstellung kann statt eines Inverters ein Kreis am Eingang gezeichnet werden.

Boolesche Algebra Grundfunktionen

Schaltfunktion

Schaltsymbol

Wahrheitstabelle

NAND

$Y = \overline{X1 \wedge X2}$

$Y = \overline{X1 · X2}$
Y <= not (X1 and X2);
y = not(X1 && X2);

X1	X2	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NOR

$Y = \overline{X1 \vee X2}$

$Y = \overline{X1 + X2}$
Y <= not( X1 or X2);
y = not( X1 || X2);

X1	X2	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Das vorgestellte N steht für not oder nicht. Das Ausgangssignal der UND oder ODER Funktion wird invertiert.

Weitere Grundfunktionen

EXOR, XOR

Wahrheitstabelle

y=(not(X1) and X2) or (X1 and not(X2))
y=not(X1 and X2) and (X1 or X2)
Y= X1 xor X2;

X1	X2	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Boolesche Funktionen Wikipedia
Logikgatter Wikipedia

Logikfunktionen in Excel

Es gibt NICHT, UND, ODER Funktionen die WAHR oder FALSCH liefern.
Je nach Länderversion heißen die Funktionen im Englischen, dann NOT, AND, OR.
Andere Funktionen müssen aus den Grundfunktionen zusammen gesetzt werden.
Mit Excel kann eine Handrechnung verifiziert werden.
Daneben kann man logische Verknüpfungen auch simulieren oder messen.

Simulation und Messung boolescher Verknüpfungen

Schaltplan LTSPICE	Zeitliche Simulation
Praktischer Aufbau	Signalmessung Oszilloskop

Nach dem Entwurf einer digitalen Schaltung wird das Verhalten simuliert und mit der Wahrheitstabelle verglichen. Dazu legt man nacheinander die Pegelkombinationen der Wahrheitstabelle an.
Bei der zeitlichen Simulation sieht man in Blau und Grün die Eingangssignale und in Rot das Ausgangssignal.
Zu einem Zeitpunkt wird eine Zeile der Wahrheitstabelle abgebildet und gemessen.
Zu Anfang liegt 00 am Eingang und der Ausgang ist auch 0.
Danach folgen die restlichen Zeilen der Wahrheitstabelle.
Nach erfolgreicher Simulation wird die Schaltung aufgebaut und das korrekte Verhalten mit dem Oszilloskop gemessen.

Beispiel

Stellen Sie folgende boolesche Funktion als Schaltplan und Wahrheitstabelle dar:
y = ((x1+x2)(x2+x3))+/x4

Bsp_02_01.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE -112 96 -160 96
WIRE -64 112 -80 112
WIRE -144 128 -160 128
WIRE -112 128 -144 128
WIRE -64 144 -64 112
WIRE -48 144 -64 144
WIRE 16 160 0 160
WIRE -48 176 -64 176
WIRE -144 192 -144 128
WIRE -112 192 -144 192
WIRE -64 208 -64 176
WIRE -64 208 -80 208
WIRE 16 208 16 160
WIRE 48 208 16 208
WIRE -112 224 -160 224
WIRE 96 224 80 224
WIRE 48 240 16 240
WIRE -112 288 -160 288
WIRE -16 288 -64 288
WIRE 16 288 16 240
WIRE 16 288 -16 288
FLAG -160 96 X1
IOPIN -160 96 In
FLAG -160 128 X2
IOPIN -160 128 In
FLAG 96 224 Y
IOPIN 96 224 In
FLAG -160 224 X3
IOPIN -160 224 In
FLAG -160 288 X4
IOPIN -160 288 In
FLAG -64 112 H1
FLAG -64 208 H2
FLAG 16 160 H3
FLAG -16 288 H4
SYMBOL NOT -80 288 R0
SYMATTR InstName X4
SYMBOL OR2 64 224 R0
SYMATTR InstName X6
SYMBOL AND2 -16 160 R0
WINDOW 0 3 -33 Bottom 2
SYMATTR InstName X1
SYMBOL OR2 -96 112 R0
SYMATTR InstName X2
SYMBOL OR2 -96 208 R0
SYMATTR InstName X3
TEXT 152 64 Left 2 !VDD VDD 0 DC 1\nVX1 X1 0 PULSE(1 0 0 5n 5n 95n 200n)\nVX2 X2 0 PULSE(1 0 0 5n 5n 195n 400n)\nVX3 X3 0 PULSE(1 0 0 5n 5n 395n 800n)\nVX4 X4 0 PULSE(1 0 0 5n 5n 795n 1600n)\n.tran 1600n
TEXT 144 240 Left 2 !.include cmosedu_models.txt
TEXT 144 272 Left 2 !.param CDL=10f
TEXT -8 80 Left 2 !.global VDD

Für die Wahrheitstabelle zerlegt man die Funktion in einfache Hilfsfunktionen mit jeweils 2 Eingängen.
H1 = x1 + x2
H2 = x2 + x3
H3 = H1 * H2
H4 = /x4
Y = H3 + H4
Dies systematisiert den Lösungsweg, erhöht den Schreibaufwand, aber vereinfacht die Auswertung der Einzelfunktionen.

Beispiel

Stellen Sie folgenden Schaltplan als boolesche Funktion und Wahrheitstabelle dar:

Bsp_02_02.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE -144 128 -160 128
WIRE -80 128 -96 128
WIRE -48 128 -80 128
WIRE 16 144 0 144
WIRE -48 160 -64 160
WIRE -112 192 -160 192
WIRE -64 208 -64 160
WIRE -64 208 -80 208
WIRE 16 208 16 144
WIRE 48 208 16 208
WIRE -112 224 -160 224
WIRE 96 224 80 224
WIRE 48 240 16 240
WIRE 16 256 -160 256
WIRE 16 256 16 240
FLAG -160 128 X1
IOPIN -160 128 In
FLAG -160 192 X2
IOPIN -160 192 In
FLAG 96 224 Y
IOPIN 96 224 In
FLAG -160 224 X3
IOPIN -160 224 In
FLAG -160 256 X4
IOPIN -160 256 In
FLAG 16 144 H3
FLAG -64 208 H2
FLAG -80 128 H1
SYMBOL NOT -112 128 R0
WINDOW 0 -9 -19 Bottom 2
SYMATTR InstName X1
SYMBOL OR2 64 224 R0
SYMATTR InstName X6
SYMBOL AND2 -16 144 R0
WINDOW 0 3 -33 Bottom 2
SYMATTR InstName X2
SYMBOL OR2 -96 208 R0
SYMATTR InstName X3
TEXT 152 64 Left 2 !VDD VDD 0 DC 1\nVX1 X1 0 PULSE(1 0 0 5n 5n 95n 200n)\nVX2 X2 0 PULSE(1 0 0 5n 5n 195n 400n)\nVX3 X3 0 PULSE(1 0 0 5n 5n 395n 800n)\nVX4 X4 0 PULSE(1 0 0 5n 5n 795n 1600n)\n.tran 1600n
TEXT 144 240 Left 2 !.include cmosedu_models.txt
TEXT 144 272 Left 2 !.param CDL=10f
TEXT -8 80 Left 2 !.global VDD

Boolesche Algebra

Genauso wie für die Rechenregeln und Gesetze für natürliche Zahlen gibt es Rechenregeln und Gesetze für die boolesche Algebra.
UND und ODER Operationen sind gleichwertig.
Es empfiehlt sich Klammern einzusetzen.
Y =(X1 UND X2) ODER (X3 UND NICHT(X4))
Y =( X1 * X2 ) + ( X3 * /X4 )

Weiterhin gibt es Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetz und weitere Gesetze.
Link Wikipedia.
Zur Vereinfachung von logischen Ausdrücken gibt es auch Reduktionsformeln und das Gesetz von De Morgan.
Wir werden in dieser Vorlesung nur mit Wahrheitstabellen, Karnaugh Diagrammen und Programmen zur Vereinfachung von logischen Ausdrücken arbeiten.

Boolesche Operationen mit mehr als 2 Eingängen

Es werden NAND und XOR Wahrheitstabellen betrachtet.

NAND
x1	x2	x3	Y
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

XOR
x1	x2	x3	Y
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

NAND Baustein

7400 4-fach NAND mit 2 Eingängen
Spannungsversorgung

VDD, VSS

Ausführliches Datenblatt
z.B. unter www.ti.com/product/SN7400
Markierung für die Orientierung des Bauelementes.
Die Anschlüsse (Pins) des Gehäuses werden von links unten mit 1 beginnend gegen den Uhrzeigersinn numeriert.

Fragen

Welche Darstellungsarten boolescher Verknüpfungen kennen Sie?
Beschreiben Sie eine Wahrheitstabelle.
Welche booleschen Grundfunktionen gibt es?
Zeichnen Sie die Schaltsymbole für UND, ODER und NICHT.
Welchen Zusammenhang gibt es zwischen einer Wahrheitstabelle und einer Messung oder Simulation?
Wie sieht die Wahrheitstabelle der ODER Funktion mit 3 Eingängen aus?
Welchen zeitlichen Verlauf haben die Eingangssignale zur Messung der ODER-Funktion?
Wieviele Zeilen hat eine Wahrheitstabelle einer booleschen Funktion mit 5 Eingängen?

03 Transistorrealisierung und Gatter

Begriff/Objekt	Kenn ich nicht	Kenne ich	Verstehe ich	Kann ich erklären	Kann ich anwenden einsetzen
Schaltfunktion
Schaltsymbol
Wahrheitstabelle
VHDL Beschreibung
Boolesche Grundfunktionen
Excel Logikfunktionen
UND
ODER
EXOR
NOT
NAND
Logikbaustein

2020 03 15 Digitaltechnik 02 Verknüpfungen Prof. Dr. Joerg Vollrath

Digitaltechnik

02 Verknüpfungen

Prof. Dr.

Jörg Vollrath

Ein kurze Videozusammenfassung der Vorlesung

Übungsaufgabe: Erstellung einer Wahrheitstabelle und des Zeitverhaltens aus einem Schaltplan

Digitaltechnik

Wiederholung

Wiederholung

Fragen heute

Gurtwarnlampe

Ziele

Darstellung boolescher Verknüpfungen

Schaltfunktion UND

Schaltzeichen, Schaltsymbol

Wahrheitstabelle

Textuelle VHDL Beschreibung

Schaltfunktionen

Schaltzeichen

Wahrheitstabelle

VHDL

Darstellung boolescher Verknüpfungen NAND

Schaltfunktion

Schaltzeichen, Schaltsymbol

Wahrheitstabelle

Textuelle VHDL Beschreibung

Boolesche Algebra Grundfunktionen

Schaltfunktion

Schaltsymbol

Wahrheitstabelle

UND, AND

ODER, OR

Boolesche Algebra Grundfunktionen

Schaltfunktion

Schaltsymbol

Wahrheitstabelle

NICHT, NOT

Boolesche Algebra Grundfunktionen

Schaltfunktion

Schaltsymbol

Wahrheitstabelle

NAND

NOR

Weitere Grundfunktionen

EXOR, XOR

Wahrheitstabelle

Logikfunktionen in Excel

Simulation und Messung boolescher Verknüpfungen

Schaltplan LTSPICE

Zeitliche Simulation

Praktischer Aufbau

Signalmessung

Beispiel

Beispiel

Boolesche Algebra

Boolesche Operationen mit mehr als 2 Eingängen

NAND Baustein

Fragen

Begriffe