Berechnen Sie die Übertragungsfunktion, die maximale Verstärkung und die Eckfrequenzen.
Zeichnen Sie die Übertragungsfunktion (Betrag und Phase) zwischen 1 Hz und 100 kHz
Es liegt eine nichtinvertierende Verstärkerschaltung vor.
Die Spannung Vin tritt auch näherungsweise am negativen Eingang des Operationsverstärkers auf.
Es liegt eine negative Rückkoppelung vor und mit sehr grosser Differenzverstärkung wird die
Eingangsdiffernezspannung zwischen Plus und Minus nahezu 0 V.
Man kann die Spannungsteilerformel anwenden oder eine Stromgleichung aufstellen
\( I = \frac{\underline{V}_{out}}{\frac{1}{\frac{1}{R1}+ j \omega C1} + \frac{1}{\frac{1}{R2}+ j \omega C2}}
= \frac{\underline{V}_{in}}{ \frac{1}{\frac{1}{R2}+ j \omega C2}}
\)
\( \frac{\underline{V}_{out}}{\underline{V}_{in}} =
\frac{\frac{1}{\frac{1}{R1}+ j \omega C1} + \frac{1}{\frac{1}{R2}+ j \omega C2}}
{ \frac{1}{\frac{1}{R2}+ j \omega C2}}
\)
Der Bruch wird vereinfacht.
\( \frac{\underline{V}_{out}}{\underline{V}_{in}} = 1 +
\frac{\frac{1}{R2}+ j \omega C2}{\frac{1}{R1}+ j \omega C1} \)
\( \frac{\underline{V}_{out}}{\underline{V}_{in}} = \frac{1}{C1}
\frac{\frac{1}{R1}+ j \omega C1 + \frac{1}{R2}+ j \omega C2}
{\frac{1}{R1 \cdot C1}+ j \omega} \)
\( \frac{\underline{V}_{out}}{\underline{V}_{in}} = \frac{C1 + C2}{C1}
\frac{ j \omega + \left( \frac{1}{R1}+ \frac{1}{R2}\right) \frac{1}{C1+C2}}
{j \omega + \frac{1}{R1 \cdot C1}} \)
Nun kann man die Eckfrequenzen berechnen:
\( f_{3dB1} = \frac{1}{2 \pi} \left( \frac{1}{R1} + \frac{1}{R2}\right) \frac{1}{C1+C2} = 8.04 kHz\)
\( f_{3dB2} = \frac{1}{2 \pi R1 C1} = 159 Hz \)
Für die maximale Verstärkung untersucht man die Übertragungsfunktion.
Eine Nullstelle im Zähler bedeutet eine Vergrößerung der Verstärkung (Abknicken der Kurve nach oben).
Eine Polstelle im Nenner bedeutet eine Verkleinerung der Verstärkung (Abknicken der Kurve nach unten).
Erst kommt die Nullstelle, so daß bei kleinen Frequenzen die größte Verstärkung auftritt.
\( v_u = R1 \cdot \left( \frac{1}{R1} + \frac{1}{R2} \right) = 1 + \frac{R1}{R2} = 101 \)
Av = 20 log
10 101 dB = 40 dB
f / Hz | 1 | 10 | 15.9 | 159 | 804 | 1590 | 8040 |
80400 | 100000 |
Maß der Verstärkung / dB | 40 | 40 | 40 | 37 | 26 | 20 | 9 |
6 | 6 |
Phasenwinkel φ / ° | 0 | 0 | 0 | -45 | -80 | -80 | -45 |
0 | 0 |
Die Frequenzen ergeben sich aus den Eckfrequenzen.
An jeder Eckfrequenz ändert sich die Steigung des Maßes um 20 dB/Dec (Nullstelle) oder -20 dB/Dec (Polstelle).
An den Eckfrequenzen tritt ein Phasenwinkel von +45° (Nullstelle) oder -45° (Polstelle) und eine Maßänderung von 3 dB auf.
Bei 1/10 Eckfrequenz ist der Winkel 0.
Bei 10 · Eckfrequenz ist der Winkel +90° (Nullstelle) oder -90° (Polstelle) geändert.