Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)03 Sinusförmige WechselgrößenProf. Dr. Jörg Vollrath02 Wechselgrößen GET 2 |
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Video GET2 03 Sinus kompakt
Video der 19. Vorlesung 8.6.2021
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Länge: 1:22:04 |
0:0:0 Evaluierung 0:0:0 Differenzverstärker 0:2:0 Eingangs und Ausgangswiderstand |
Rückblick und Übersicht
- Mittelwerte: Gleichwert und Effektivwert
- Analytische Gleichung (Geradengleichung
- Integration und numerische Integration
- Simulation
- Gleichrichtwert
- Sinusförmige Wechselgrößen: Effektivwert
- Leiterschleife
- Überlagerung: Rechtecksignal, Schwebung
Wer hat sich schon die Webseiten angeschaut?
Was finden Sie gut? Was erwarten Sie?
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Rechnung Effektivwert einer Mischgröße
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\( u(t) = u_0 + \hat{u}_1 \cdot sin \left( \omega t \right) \)
\( U_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T u^2(t) dt } \)
\( U_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T (u_0 + \hat{u}_1 \cdot sin \left( \omega t \right))^2 dt } \) \( U_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T (u_0^2 + \hat{u}_1^2 \cdot sin^2 \left( \omega t \right) + 2 \cdot u_0 \cdot \hat{u}_1 \cdot sin \left( \omega t \right)) dt } \) \( U_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T (u_0^2) dt + \frac{1}{T} \int_0^T (\hat{u}_1^2 \cdot sin^2 \left( \omega t \right)) dt } \) mit: \( \int_0^T ( 2 \cdot u_0 \cdot \hat{u}_1 \cdot sin \left( \omega t \right)) dt = 0 \) \( U_{eff} = \sqrt{u_{0eff}^2 + u_{1eff}^2 } \) |
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Gleichrichtwert
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Motivation Sinusförmige Wechselgröße
- Energieerzeugung
Leiterschleife in einem Magnetfeld
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Signalübertragung MP3
Jede beschränkte nicht sinusförmige periodische Wechselgröße läßt sich in eine bestimmte unendliche Reihe mit sinusförmigen Summengliedern überführen.
Leiterschleife im Magnetfeld
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Die Fläche der Leiterschleife ist A. Die magnetische Flussdichte ist B. Die effektive Fläche der Leiterschleife bei einer Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) zum Zeitpunkt t ist: \( A \cdot \cos( \omega t) \) Der magnetische Fluss \( \Phi(t) \) ist dann: \( \Phi(t) = B \cdot A \cdot \cos( \omega t) \) und die induzierte Spannung u(t) ist: \( U = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = B \cdot A \cdot (-\omega) \cdot \sin(\omega t) \) Die Spannung kann durch eine größere Fläche, höhere Winkelgeschwindigkeit oder grösserer magnetischer Flussdichte erhöht werden. |
\( \phi \): 0 ° |
Rechtecksignal aus Sinusschwingungen
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\( \sum\limits_n \frac{1}{n} sin( n x) \) \( n = 1,3,5,7,.. \) Fouriertransformation 3.Semester Zerlegung einer periodischen Wechselgröße in Sinusgrößen. Dies wird beispielsweise bei der MP3 Kodierung genutzt. |
Sinusförmige Wechselgröße (28.03.2023 04)
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\( u(t) = \hat{u} sin( \omega t + \phi_0 ) \) \( u(t) = \hat{u} cos( \omega t + \phi_0 - \frac{\pi}{2}) \) \( \hat{u} \): Amplitude \( \omega \): Kreisfrequenz \( [s^{-1}] \) \( \omega = 2 \pi f \) \( \phi_0 \): Nullphasenwinkel [°] Der Nullphasenwinkel wird bei der Oszilloskopdarstellung durch den Trigger eingestellt. Phasenverschiebungswinkel (phase difference) \( \phi_{12} = \phi_{1} - \phi_{2} \) \( \phi_{12} \gt 0 \): Die Schwingung 1 eilt der Schwingung 2 voraus. \( \phi_{12} \lt 0 \): Die Schwingung 1 eilt der Schwingung 2 nach. |
Beim Oszilloskop liest man den Phasenwinkel aus einer Zeitdifferenz der Nulldurchgänge ab.
t1 und t2 seien die Zeitpunkte Nulldurchgänge der Kurven 1 und 2. T sei die Periodendauer der Signale. Eine Periode T entspricht einem Winkel von 2 π.
\( \phi_{12} = \frac{t_1-t_2}{T} 2 \pi \)
t1 und t2 seien die Zeitpunkte Nulldurchgänge der Kurven 1 und 2. T sei die Periodendauer der Signale. Eine Periode T entspricht einem Winkel von 2 π.
\( \phi_{12} = \frac{t_1-t_2}{T} 2 \pi \)
Gleichwert, Gleichrichtwert und Effektivwert einer sinusförmigen Wechselgröße
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\( u(t) = \hat{u} sin( \omega t + \phi_0 ) \)
Gleichwert:
\( \overline{u} = \frac{1}{T} \int\limits_{t_1}^{T + t_1} \hat{u} sin( \omega t + \phi_0) dt \) \( \overline{u} = \frac{\hat{u}}{T} \left[ - \frac{1}{\omega} cos( \omega t + \phi_0) \right]_{t_1}^{T + t_1} \) \( \overline{u} = - \frac{\hat{u}}{T \cdot \omega} \left( cos( \omega (T + t_1) + \phi_0) - cos( \omega t_1 + \phi_0) \right) = 0 \)
Gleichrichtwert:
\( | \overline{u} | = \frac{2}{T} \int\limits_{0}^{\frac{T}{2}} \hat{u} sin( \omega t ) dt \) \( \overline{u} = \frac{2 \hat{u}}{T} \left[ - \frac{1}{\omega} cos( \omega t ) \right]_{0}^{\frac{T}{2}} \) \( \overline{u} = - \frac{2 \hat{u}}{T \cdot \omega} \left( cos( \omega \frac{T}{2} ) - cos( \omega \cdot 0) \right) = \frac{4 \hat{u}}{T \cdot \omega} \) \( \overline{u} = \frac{4 \hat{u}}{T \cdot 2 \cdot \pi f} = \frac{2 \hat{u}}{\pi} = 0.637 \hat{u} \)
Effektivwert:
\( U = \sqrt{ \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} \hat{u}^2 sin^2( \omega t ) dt } \) \( U = \sqrt{ \frac{ \hat{u}^2}{T} \left[ \frac{t}{2} - \frac{1}{4 \cdot \omega} sin( 2 \omega t ) \right]_{0}^{T} } \) \( U = \sqrt{\frac{ \hat{u}^2}{T} \left( \frac{T}{2} - \frac{1}{4 \cdot \omega} sin( 2 \omega T ) - \frac{0}{2} + \frac{1}{4 \cdot \omega} sin( 2 \omega 0 ) \right) } \) \( U = \sqrt{ \frac{ \hat{u}^2}{T} \left( \frac{T}{2} \right)} = \frac{\hat{u}}{\sqrt{2}} = 0.707 \hat{u} \) |
Feedback: Gerade, Integral (26.03.2024)
- Schreiben Sie selbstständig mit
Warum konnten Sie die vorgestellte Integraldarstellung nicht direkt anwenden? - Geradengleichung: Kästchen x-Achse 1s, y-Achse 0.5V
4 Kästchen x, 4 Kästchen y ergeben: 2V/4s = 0.5 V/s
Einheiten in der Geradengleichung - Weniger verrechnet
- Lösung: 4..11 min
- 1. Übungsblatt
| Frage | Richtig | Gesamt |
| Geradengleichung | 18 | 21 |
| Integral | 15 | 21 |
Fragen
- Welche praktische Bedeutung hat die Überlagerung von sinusförmigen Wechselgrößen?
- Was passiert bei der Überlagerung von sinusförmigen Wechselgrößen gleicher Frequenz?
- Was passiert bei der Überlagerung von sinusförmigen Wechselgrößen unterschiedlicher Frequenz?
Integrieren Sie folgenden Term von 2 s bis 4 s.
u(t) = 3 V + 0.02 V/ms t + 3 V s-2 t2
Geradengleichung:
Die Steigung ist dy / dx.
Integralschreibweise: Integral, Stammfunktion mit Grenzen
\( \int_{2s}^{4s} 3 V + 0.02 V/ms t + 3 Vs^{-2} t^2 dt = \left[ 3 V t + 0.02 V/ms \frac{t^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{t^3}{3} \right]_{2s}^{4s} \)
\( \left( 3 V 4 s + 0.02 V/ms \frac{16 s^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{64 s^3}{3} \right) - \left( 3 V 2 s + 0.02 V/ms \frac{4 s^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{8 s^3}{3} \right)\)
Vorzeichen und Klammer:
\( 3 V 4 s + 0.02 V/ms \frac{16 s^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{64 s^3}{3} - 3 V 2 s - 0.02 V/ms \frac{4 s^2}{2} - 3 Vs^{-2} \frac{8 s^3}{3} \)
Einheiten unter dem Bruchstrich:
\( 12 Vs + 20 Vs \cdot 8 + 64 Vs - 6 Vs - 40 Vs - 8 Vs = 182 Vs \)
Integralgrenzen kann man hier nicht verschieben.
Wenn man beim X Wert eine Differenz hat, kann man Integralgrenzen verschieben:
\( \int_{2s}^{4s} (x - 2s) dt = \int_{0s}^{2s} x dt\)
Die Steigung ist dy / dx.
Integralschreibweise: Integral, Stammfunktion mit Grenzen
\( \int_{2s}^{4s} 3 V + 0.02 V/ms t + 3 Vs^{-2} t^2 dt = \left[ 3 V t + 0.02 V/ms \frac{t^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{t^3}{3} \right]_{2s}^{4s} \)
\( \left( 3 V 4 s + 0.02 V/ms \frac{16 s^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{64 s^3}{3} \right) - \left( 3 V 2 s + 0.02 V/ms \frac{4 s^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{8 s^3}{3} \right)\)
Vorzeichen und Klammer:
\( 3 V 4 s + 0.02 V/ms \frac{16 s^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{64 s^3}{3} - 3 V 2 s - 0.02 V/ms \frac{4 s^2}{2} - 3 Vs^{-2} \frac{8 s^3}{3} \)
Einheiten unter dem Bruchstrich:
\( 12 Vs + 20 Vs \cdot 8 + 64 Vs - 6 Vs - 40 Vs - 8 Vs = 182 Vs \)
Integralgrenzen kann man hier nicht verschieben.
Wenn man beim X Wert eine Differenz hat, kann man Integralgrenzen verschieben:
\( \int_{2s}^{4s} (x - 2s) dt = \int_{0s}^{2s} x dt\)
Sinusgrößen unterschiedlicher Frequenz
\( u(t) = \hat{u}_1 cos(\omega_1 t + \phi_{u1})
+ \hat{u}_2 cos(\omega_2 t + \phi_{u2} ) \)
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Überlagerung von Sinusgrößen gleicher Frequenz
\( u(t) = u_1 (t) + u_2 (t) \)
Darstellung der zu erwartenden Funktion und der Summe der 2 Funktionen:
| \( u(t) = \hat{u} cos ( \omega t + \phi_u ) \) | \( u(t) = \hat{u}_1 cos ( \omega t + \phi_{u1} ) + \hat{u}_2 cos ( \omega t + \phi_{u2} ) \) |
| mit: \( cos( \alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta \) | |
| \( u(t) = \hat{u} ( cos \phi_u cos \omega t - sin \phi_u sin \omega t ) \) \( u(t) = \hat{u} cos \phi_u cos \omega t - \hat{u} sin \phi_u sin \omega t \) |
\( u(t) = \hat{u}_1 ( cos \omega t cos \phi_{u1} - sin \phi_{u1} sin \omega t )
+ \hat{u}_2 ( cos \omega t cos \phi_{u2} - sin \phi_{u2} sin \omega t ) \) \( u(t) = ( \hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2} ) cos \omega t - ( \hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2} ) sin \omega t \) |
Koeffizientenvergleich für \( sin \omega t \) und \( cos \omega t \) :
(1) \( \hat{u} cos \phi_u = \hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2} \)
(2) \( \hat{u} sin \phi_u = \hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2} \)
Bestimmung des Winkels aus dem Quotienten \( \frac{(1)}{(2)} \):
\( \frac{\hat{u} sin \phi_u}{\hat{u} cos \phi_u} = \frac{\hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2}} {\hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2}} \)
\( \phi_u = arctan \left( \frac{\hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2}} {\hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2}} \right) \)
Bestimmung der Amplitude aus \( (1)^2 + (2)^2 \)
\( \left( \hat{u} cos \phi_u \right)^{2} + \left( \hat{u} sin \phi_u \right)^{2} = \left( \hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2} \right)^{2} + \left( \hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2} \right)^{2} \)
\( \hat{u} = \sqrt{ \left( \hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2} \right)^{2} + \left( \hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2} \right)^{2} } \)
\( \hat{u} = \sqrt{ \left( \hat{u}_1 cos \phi_{u1}\right)^{2} + \left( \hat{u}_2 cos \phi_{u2} \right)^{2} + 2 \hat{u}_1 cos \phi_{u1} \hat{u}_2 cos \phi_{u2} + \left( \hat{u}_1 sin \phi_{u1} \right)^{2} + \left( \hat{u}_2 sin \phi_{u2} \right)^{2} + 2 \hat{u}_1 sin \phi_{u1} \hat{u}_2 sin \phi_{u2} } \)
\( sin^{2} \phi + cos^{2} \phi = 1 \)
\( cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta = cos ( \alpha - \beta) \)
\( \hat{u} = \sqrt{ \left( \hat{u}_1 \right)^{2} + \left( \hat{u}_2 \right)^{2} + 2 \hat{u}_1 \hat{u}_2 cos(\phi_{u2} - \phi_{u1}) } \)
Beispiel: Überlagerung von Sinusgrößen gleicher Frequenz
Zwei Quellen mit sinusförmiger Quellenspannung gleicher Frequenz sind in Reihe geschaltet.
\( \hat{u}_{q1} = 50 V; \phi_{u1} = 80°; f_1 = 50 Hz; \) \( \phi = \frac{80°}{180°} \cdot \pi = 1.396 \)
\( \hat{u}_{q2} = 30 V; \phi_{u2} = 15°; f_2 = 50Hz; \)
Simulieren Sie mit SPICE und berechnen Sie die Amplitude und den Nullphasenwinkel der Klemmenspannung und zeichnen Sie die Liniendiagramme sämtlicher Spannungen.
\( \hat{u} = \sqrt{ \left( \hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2} \right)^{2}
+ \left( \hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2} \right)^{2} } \)
\( \hat{u} = \sqrt{ \left( 37.66 V \right)^{2} + \left( 57 V \right)^{2} } = 68.3 V \)
\( \phi_u = arctan \left( \frac{\hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2}} {\hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2}} \right) = 56.55° \)
\( \hat{u} = \sqrt{ \left( 37.66 V \right)^{2} + \left( 57 V \right)^{2} } = 68.3 V \)
\( \phi_u = arctan \left( \frac{\hat{u}_1 sin \phi_{u1} + \hat{u}_2 sin \phi_{u2}} {\hat{u}_1 cos \phi_{u1} + \hat{u}_2 cos \phi_{u2}} \right) = 56.55° \)
Zusammenfassung und nächstes Mal
- Generator, Leiterschleife
- Überlagerung von Sinusschwingungen:
Unterschiedliche Frequenzen: Rechteck, Schwebung
Gleiche Frequenz: Änderung der Phase und Amplitude
Ein Wechselspannungsgenerator verhält sich wie eine Leiterschleife im Magnetfeld und erzeugt
eine sinusförmige Spanung.
\( \omega = 2 \pi f = 2 \pi \frac{1}{T} \)
u : Spannungsamplitude
ω : Winkelgeschwindigkeit
f: Frequenz
T: Periodendauer
φ: Phasenwinkel
Mit dem Dreisatz kann man den Winkel in Grad in ein Bogenmaß umrechnen
\( \frac{40°}{360°} = \frac{1}{9} = \frac{ 2 \pi \frac{1}{9}}{ 2 \pi} \)
Eine beliebige Wechselgröße kann man aus Überlagerung von Sinusschwingungen darstellen.
Zur Analyse und Synthese einer beliebigen Wechselgröße wird eine Fouriertransformation verwendet.
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u(t) = |
ω : Winkelgeschwindigkeit
f: Frequenz
T: Periodendauer
φ: Phasenwinkel
Mit dem Dreisatz kann man den Winkel in Grad in ein Bogenmaß umrechnen
\( \frac{40°}{360°} = \frac{1}{9} = \frac{ 2 \pi \frac{1}{9}}{ 2 \pi} \)
Eine beliebige Wechselgröße kann man aus Überlagerung von Sinusschwingungen darstellen.
Zur Analyse und Synthese einer beliebigen Wechselgröße wird eine Fouriertransformation verwendet.