Hochschule Kempten      
Fakultät Elektrotechnik      
GET2       Fachgebiet Elektronik, Prof. Vollrath      

Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

03 Sinusförmige Wechselgrößen

Prof. Dr. Jörg Vollrath


02 Wechselgrößen GET 2



Video GET2 03 Sinus kompakt

Video der 19. Vorlesung 8.6.2021


Länge: 1:22:04
0:0:0 Evaluierung

0:0:0 Differenzverstärker

0:2:0 Eingangs und Ausgangswiderstand

Rückblick und Übersicht



Wer hat sich schon die Webseiten angeschaut?
Was finden Sie gut? Was erwarten Sie?

Rechnung Effektivwert einer Mischgröße

\( u(t) = u_0 + \hat{u}_1 \cdot sin \left( \omega t \right) \)

Gleichrichtwert

  • Gleichrichterschaltung (rectifier circuit)
    Der Strom fliesst nur in eine Richtung
  • Diodenfunktion: Ideale Diode
    \( U_D > 0, R_D = 0 \) leitet
    \( U_D < 0, R_D = \infty \) sperrt
  • Einweggleichrichterschaltung (half wave rectifier circuit)
    \( u_{E}(t) = \cases{ u(t) & \text{für} u(t) \gt 0 \cr 0 & \text{für} u(t) \lt 0 }\)
  • Brückengleichrichter
    \( u_{Br} = | u(t) | \)


Motivation Sinusförmige Wechselgröße

Leiterschleife im Magnetfeld

Die Fläche der Leiterschleife ist A.
Die magnetische Flussdichte ist B.
Die effektive Fläche der Leiterschleife bei einer Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) zum Zeitpunkt t ist: \( A \cdot \cos( \omega t) \)
Der magnetische Fluss \( \Phi(t) \) ist dann:
\( \Phi(t) = B \cdot A \cdot \cos( \omega t) \)
und die induzierte Spannung u(t) ist:
\( U = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = B \cdot A \cdot (-\omega) \cdot \sin(\omega t) \)
Die Spannung kann durch eine größere Fläche, höhere Winkelgeschwindigkeit oder grösserer magnetischer Flussdichte erhöht werden.

\( \phi \): 0 °

Rechtecksignal aus Sinusschwingungen

\( \sum\limits_n \frac{1}{n} sin( n x) \)
\( n = 1,3,5,7,.. \)

Fouriertransformation 3.Semester
Zerlegung einer periodischen Wechselgröße in Sinusgrößen.
Dies wird beispielsweise bei der MP3 Kodierung genutzt.

Sinusförmige Wechselgröße (28.03.2023 04)

\( u(t) = \hat{u} sin( \omega t + \phi_0 ) \)
\( u(t) = \hat{u} cos( \omega t + \phi_0 - \frac{\pi}{2}) \)

\( \hat{u} \): Amplitude
\( \omega \): Kreisfrequenz \( [s^{-1}] \)
\( \omega = 2 \pi f \)
\( \phi_0 \): Nullphasenwinkel [°]
Der Nullphasenwinkel wird bei der Oszilloskopdarstellung durch den Trigger eingestellt.

Phasenverschiebungswinkel (phase difference)
\( \phi_{12} = \phi_{1} - \phi_{2} \)
\( \phi_{12} \gt 0 \): Die Schwingung 1 eilt der Schwingung 2 voraus.
\( \phi_{12} \lt 0 \): Die Schwingung 1 eilt der Schwingung 2 nach.
Beim Oszilloskop liest man den Phasenwinkel aus einer Zeitdifferenz der Nulldurchgänge ab.
t1 und t2 seien die Zeitpunkte Nulldurchgänge der Kurven 1 und 2. T sei die Periodendauer der Signale. Eine Periode T entspricht einem Winkel von 2 π.
\( \phi_{12} = \frac{t_1-t_2}{T} 2 \pi \)

Gleichwert, Gleichrichtwert und Effektivwert einer sinusförmigen Wechselgröße


\( u(t) = \hat{u} sin( \omega t + \phi_0 ) \)

Feedback: Gerade, Integral

FrageRichtigGesamt
Geradengleichung1821
Integral1521

Fragen


Integrieren Sie folgenden Term von 2 s bis 4 s.

u(t) = 3 V + 0.02 V/ms t + 3 V s-2 t2


Geradengleichung:
Die Steigung ist dy / dx.

Integralschreibweise: Integral, Stammfunktion mit Grenzen
\( \int_{2s}^{4s} 3 V + 0.02 V/ms t + 3 Vs^{-2} t^2 dt = \left[ 3 V t + 0.02 V/ms \frac{t^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{t^3}{3} \right]_{2s}^{4s} \)

\( \left( 3 V 4 s + 0.02 V/ms \frac{16 s^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{64 s^3}{3} \right) - \left( 3 V 2 s + 0.02 V/ms \frac{4 s^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{8 s^3}{3} \right)\)
Vorzeichen und Klammer:

\( 3 V 4 s + 0.02 V/ms \frac{16 s^2}{2} + 3 Vs^{-2} \frac{64 s^3}{3} - 3 V 2 s - 0.02 V/ms \frac{4 s^2}{2} - 3 Vs^{-2} \frac{8 s^3}{3} \)

Einheiten unter dem Bruchstrich:

\( 12 Vs + 20 Vs \cdot 8 + 64 Vs - 6 Vs - 40 Vs - 8 Vs = 182 Vs \)

Integralgrenzen kann man hier nicht verschieben.
Wenn man beim X Wert eine Differenz hat, kann man Integralgrenzen verschieben:

\( \int_{2s}^{4s} (x - 2s) dt = \int_{0s}^{2s} x dt\)

Sinusgrößen unterschiedlicher Frequenz

\( u(t) = \hat{u}_1 cos(\omega_1 t + \phi_{u1}) + \hat{u}_2 cos(\omega_2 t + \phi_{u2} ) \)

  • Graphische, numerische Lösung
    • Excel, SPICE
  • 1. Sonderfall:
    • \( T_1 = n T_2 \) mit n = 1, 2, 3, ..
    • Resultierende Periode: \( T = T_1 \)
  • 2. Sonderfall:
    • Differenz f1 und f2 klein: Schwebung (beat)
    • \( \hat{u}_1 = \hat{u}_2 \)
    • Mit \( \omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \), \( \Delta \omega = \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} \)
    • \( \phi = \frac{\phi_{u1} + \phi_{u2}}{2} \), \( \Delta \phi = \frac{\phi_{u1} - \phi_{u2}}{2} \)
    • \( cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
    • \( u(t) = \hat{u}_1 cos ( \Delta \omega t + \Delta \phi) cos ( \omega t + \phi ) \)

Überlagerung von Sinusgrößen gleicher Frequenz


\( u(t) = u_1 (t) + u_2 (t) \)

Beispiel: Überlagerung von Sinusgrößen gleicher Frequenz


Zwei Quellen mit sinusförmiger Quellenspannung gleicher Frequenz sind in Reihe geschaltet.

\( \hat{u}_{q1} = 50 V; \phi_{u1} = 80°; f_1 = 50 Hz; \) \( \phi = \frac{80°}{180°} \cdot \pi = 1.396 \)
\( \hat{u}_{q2} = 30 V; \phi_{u2} = 15°; f_2 = 50Hz; \)

Simulieren Sie mit SPICE und berechnen Sie die Amplitude und den Nullphasenwinkel der Klemmenspannung und zeichnen Sie die Liniendiagramme sämtlicher Spannungen.

Zusammenfassung und nächstes Mal

04 LTSPICE

Ein Wechselspannungsgenerator verhält sich wie eine Leiterschleife im Magnetfeld und erzeugt eine sinusförmige Spanung.
u(t) = u sin( ω t + φ )
\( \omega = 2 \pi f = 2 \pi \frac{1}{T} \)

u: Spannungsamplitude
ω : Winkelgeschwindigkeit
f: Frequenz
T: Periodendauer
φ: Phasenwinkel

Mit dem Dreisatz kann man den Winkel in Grad in ein Bogenmaß umrechnen
\( \frac{40°}{360°} = \frac{1}{9} = \frac{ 2 \pi \frac{1}{9}}{ 2 \pi} \)

Eine beliebige Wechselgröße kann man aus Überlagerung von Sinusschwingungen darstellen.
Zur Analyse und Synthese einer beliebigen Wechselgröße wird eine Fouriertransformation verwendet.