Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)
05 Zeigerdarstellung
Komplexe Rechnung
Prof. Dr. Jörg Vollrath
04 SPICE
Video GET2 05 Zeigerdarstellung kompakt
Video der 19. Vorlesung 8.6.2021
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Länge: 1:22:04
Übersicht
Wer hat SPICE runtergeladen?
Wer hat eine SPICE Simulation durchgeführt?
Zeigerdarstellung
Überlagerung von Sinusgrößen
Ziele
Sie können eine sinusförmige Wechselgröße als Zeiger und komplexe Zahl darstellen.
Sie können Zeiger graphisch Addieren.
Sie können mit komplexen Zahlen rechnen und kennen die P-Form und die R-Form.
Zeigerdarstellung
Zeiger (phasor)
Unterstreichung: \( \underline{\hat{u}} \)
Zeitpunkt: t=0
Bezugsachse
Addition im Zeigerdiagramm
Normierung
Eine Spannung(Strom) wird mit einem Skalierungsfaktor in eine Länge(cm) umgerechnet,
damit alle Größen bei der Zeichnung auf ein Blatt passen.
Der erste Zeiger wird angetragen.
Bei einer Addition wird der Anfang(Fuß) des nächsten Zeigers an das Ende(Spitze)
des ersten Zeigers angesetzt.
Bei einer Subtraktion wird die Richtung des Zeiger der subtrahiert wird umgedreht.
Beispiel: Überlagerung von Sinusgrößen gleicher Frequenz
Zwei Quellen mit sinusförmiger Quellenspannung gleicher Frequenz sind in Reihe geschaltet.
\( \hat{u}_{q1} = 50 V; \phi_{u1} = 80°; f_1 = 50 Hz; \) \( \phi = \frac{80°}{180°} \cdot \pi = 1.3298 \)
\( \hat{u}_{q2} = 30 V; \phi_{u2} = 15°; f_2 = 50Hz; \)
Komplexe Symbole (4.4.2023)
Nachteil Zeigerdiagramm: Zeichengenauigkeit
Mathematische Beschreibung von Zeigern: komplexe Zahlen
\( \underline{\hat{u}} = a + j b \) mit \( j = \sqrt{-1} \)
Bezugsachse ist die reelle Achse
Zeitpunkt t = 0
Realteil: \( \hat{u} cos \phi_u \)
Imaginärteil: \( \hat{u} sin \phi_u \)
Spannung in der komplexen Ebene
\( \underline{u}(t) = \hat{u} cos(\omega t + \phi_u) +
j \hat{u} sin( \omega t + \phi_u ) \)
Eulersche Gleichung
\( e^{j \phi} = cos \phi + j sin \phi \)
\( \underline{u}(t) = \hat{u} e^{j(\omega t + \phi_u)} \)
Vollständiges komplexes Symbol
R-Form und P-Form
R-Form
P-Form
\( \underline{Z} = R + j X \)
\( R = Z cos\phi \)
\( X = Z sin\phi \)
Addition von Spannungen und Strömen
Reihenschaltung von Widerständen
\( \underline{Z} = R + j X = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 \)
\( \underline{Z} = (R_1 + R_2) + j (X_1 + X_2) \)
\( \underline{Z} = Z \underline{/\phi} = Z \cdot e^{j\phi}\)
\( Z = \sqrt{R^{2} + X^{2}} \)
\( \phi = arctan{\frac{X}{R}} \)
Multiplikation, Division
Umwandlung Widerstand und Leitwert
Rechnung für Sinusförmige Wechselgrößen
Überlagerung sinusförmiger Wechselgrößen
Differentialgleichung
Im Zeitbereich
Mit Hilfe von komplexen Zeitfunktionen
Berechnung im komplexen
Zeigerdiagramm mit komplexen Effektivwerten (grafisches Verfahren)
Algebraische Gleichung in komplexen Effektivwerten (Symbolische Methode)
Komplexe Symbole P-Form: Polarkoordinaten
\( \underline{u}(t)=\hat{u} e^{j(\omega t + \phi_u)} \)
Vollständiges komplexes Symbol
Realteilbildung
u(t) = Re{u (t)} =
û cos (ω t + φu )
Verzichtet auf die Darstellung der Zeitabhängigkeit
Symbol für die Zeit t=0
Versorzeichen /
û
= û /φu
= û ej φu
U
= U /φu
= U ej φu Effektivwert
Sprich U Versor φu
Der Winkel erscheint in normaler Schrifthöhe und Größe
Darstellung in Polarkoordinaten P-Form
Formelzeichen für Wechselgrößen
u zeitlich veränderliche elektrische Spannung
û Amplitude, Maximalwert der sinusförmigen Spannung
u komplexe Zeitfunktion der elektrischen Spannung
û komplexe Amplitude der elektrischen Spannung
U elektrische Spannung (Gleichspannung, Effektivwert)
U komplexer Effektivwert der elektrischen Spannung
Unterstreichen: komplex
û Amplitude
Fragen
Beschreiben Sie die Konstruktion des Liniendiagramms
einer Sinusschwingung mit Hilfe eines rotierenden Zeigers.
Wie lautet das vollständige komplexe Stromsymbol?
Worin besteht der Unterschied zwischen dem vollständigen
komplexen Symbol einer Spannung und der komplexen Spannung?
Welche Kenngrößen einer Sinusschwingung werden im komplexen Symbol verwendet?
Unter welcher Voraussetzung kann die Addition von
Sinusschwingungen auf die Addition der komplexen Symbole zurückgeführt werden?
Rechnung für Sinusförmige Wechselgrößen
Überlagerung sinusförmiger Wechselgrößen
Differentialgleichungen
Im Zeitbereich
Mit Hilfe von komplexen Zeitfunktionen
Berechnung im komplexen
Zeigerdiagramm mit komplexen Effektivwerten (grafisches Verfahren)
Algebraische Gleichung in komplexen Effektivwerten (Symbolische Methode)
Reihenschaltung R und L: Berechnungsbeispiel
Differentialgleichungen
u(t) = û sin(ωt+φu )
= R i(t) + L di/dt
Strom: i (t) =
î ejωt
d i (t)/dt =
jω î ejωt
Im komplexen
u (t)
= û ej(ωt+φu )
= R i (t)
+ j ω L i (t)
Algebraische Gleichung: Effektivwerte
Zeigerdiagramm
\( \underline{U} = j \omega L \underline{I} \)
\( u_L = L \frac{di}{dt} \)
Hilfsmittel Differentialgleichung
\( u_L = L \frac{di}{dt} \)
\( \frac{d sin(\omega t + \phi)}{dt} = \omega cos(\omega t+\phi) \)
i = î sin(ωt + φ)
u
R = R i = R î sin(ωt + φ)
u
L = L di/dt = ω L î cos(ωt + φ)
u = u
R + u
L =
R î sin(ωt + φ) +
ω L î cos(ωt + φ)
u = u
R + u
L =
R î sin(ωt + φ) +
ω L î sim(ωt + φ + π/2)
Die Überlagerung zweier Sinusschwingungen ergibt wieder eine Sinusgröße
Komplexe Zahlen und Operationen
z = x + j y
mit \( j = \sqrt{ -1} \)
z = r ( cos φ + j sin φ)
mit \( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
mit φ = arctan(x/y)
z = r ejφ
Eulersche Formel
Operationen
Multiplikation, Division, Differential
\( \underline{z}_1 \underline{z}_2 = r_1 r_2 e^{j(\phi_1 + \phi_2)}
= r_1 r_2 \underline{/ \phi_1 + \phi_2} \)
\( \frac{\underline{z}_1}{ \underline{z}_2} = \frac{r_1}{ r_2} e^{j(\phi_1 - \phi_2)}
= \frac{r_1}{ r_2} \underline{/\phi_1 - \phi_2} \)
\( \frac{d e^{j \omega t}}{dt} = j \omega e^{j \omega t} \)
Fragen
Was sind die Vorteile der Berechnung von Spannungen und Strömen im komplexen?
Was sind die R-Form und die P-Form?
Wie führen Sie die R-Form in die P-Form über?
Wann wenden Sie die R-Form an, wann die P-Form?
Welche praktische Bedeutung hat die Überlagerung von sinusförmigen Wechselgrößen?
Was passiert bei der Überlagerung von sinusförmigen Wechselgrößen gleicher Frequenz?
Was passiert bei der Überlagerung von sinusförmigen Wechselgrößen unterschiedlicher Frequenz?
Zusammenfassung und nächstes Mal
Zeigerdarstellung
Addition von Zeigern
Komplexe Symbole
P-Form: Versorschreibweise
R-Form
Umrechnung zwischen P-Form und R-Form
06 Komplexe Lineare Zweipole