Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2) 05 Zeigerdarstellung Komplexe Rechnung Prof. Dr. Jörg Vollrath 04 SPICE

Übersicht (08.04.2024)

• Wer hat SPICE runtergeladen?
• Wer hat eine SPICE Simulation durchgeführt?
• Zeigerdarstellung
• Überlagerung von Sinusgrößen

Ziele

• Sie können eine sinusförmige Wechselgröße als Zeiger und komplexe Zahl darstellen.
• Sie können Zeiger graphisch Addieren.
• Sie können mit komplexen Zahlen rechnen und kennen die P-Form und die R-Form.

Zeigerdarstellung

Zeiger (phasor) Unterstreichung: \( \underline{\hat{u}} \) Zeitpunkt: t=0 Bezugsachse

Addition im Zeigerdiagramm

• Normierung
  Eine Spannung(Strom) wird mit einem Skalierungsfaktor in eine Länge(cm) umgerechnet, damit alle Größen bei der Zeichnung auf ein Blatt passen.
• Der erste Zeiger wird angetragen.
• Bei einer Addition wird der Anfang(Fuß) des nächsten Zeigers an das Ende(Spitze) des ersten Zeigers angesetzt.
• Bei einer Subtraktion wird die Richtung des Zeiger der subtrahiert wird umgedreht.

Beispiel: Überlagerung von Sinusgrößen gleicher Frequenz

Zwei Quellen mit sinusförmiger Quellenspannung gleicher Frequenz sind in Reihe geschaltet.

\( \hat{u}_{q1} = 50 V; \phi_{u1} = 80°; f_1 = 50 Hz; \) \( \phi = \frac{80°}{180°} \cdot \pi = 1.3298 \)
\( \hat{u}_{q2} = 30 V; \phi_{u2} = 15°; f_2 = 50Hz; \)

Komplexe Symbole (4.4.2023)

Nachteil Zeigerdiagramm: Zeichengenauigkeit Mathematische Beschreibung von Zeigern: komplexe Zahlen \( \underline{\hat{u}} = a + j b \) mit \( j = \sqrt{-1} \) Bezugsachse ist die reelle Achse Zeitpunkt t = 0 Realteil: \( \hat{u} cos \phi_u \) Imaginärteil: \( \hat{u} sin \phi_u \) Spannung in der komplexen Ebene \( \underline{u}(t) = \hat{u} cos(\omega t + \phi_u) + j \hat{u} sin( \omega t + \phi_u ) \) Eulersche Gleichung \( e^{j \phi} = cos \phi + j sin \phi \) \( \underline{u}(t) = \hat{u} e^{j(\omega t + \phi_u)} \) Vollständiges komplexes Symbol

R-Form und P-Form

R-Form	P-Form
\( \underline{Z} = R + j X \) \( R = Z cos\phi \) \( X = Z sin\phi \) Addition von Spannungen und Strömen Reihenschaltung von Widerständen \( \underline{Z} = R + j X = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 \) \( \underline{Z} = (R_1 + R_2) + j (X_1 + X_2) \)	\( \underline{Z} = Z \underline{/\phi} = Z \cdot e^{j\phi}\) \( Z = \sqrt{R^{2} + X^{2}} \) \( \phi = arctan{\frac{X}{R}} \) Multiplikation, Division Umwandlung Widerstand und Leitwert

Rechnung für Sinusförmige Wechselgrößen

Überlagerung sinusförmiger Wechselgrößen Differentialgleichung Im Zeitbereich Mit Hilfe von komplexen Zeitfunktionen Berechnung im komplexen Zeigerdiagramm mit komplexen Effektivwerten (grafisches Verfahren) Algebraische Gleichung in komplexen Effektivwerten (Symbolische Methode)

Komplexe Symbole P-Form: Polarkoordinaten

• \( \underline{u}(t)=\hat{u} e^{j(\omega t + \phi_u)} \)
• Vollständiges komplexes Symbol
• Realteilbildung
  u(t) = Re{u(t)} = û cos (ω t + φ_u)
  
• Verzichtet auf die Darstellung der Zeitabhängigkeit
  Symbol für die Zeit t=0
• Versorzeichen / 
• û = û /φ_u = û e^{j φu}
  
  
• U = U /φ_u = U e^{j φu}     Effektivwert
  
  
• Sprich U Versor φ_u
• Der Winkel erscheint in normaler Schrifthöhe und Größe
• Darstellung in Polarkoordinaten P-Form

Komplexe Symbole R-Form: rechtwinklige Koordinaten

• R-Form
  U = U cos φ_u + j U sin φ_u

• Beispiel: Addition zweier Spannungen
• U_q1 = 17.68 V /75°
• U_q2 = 10.6 V /12°

• U_q1 = 17.68 V /75° = 4.58 V + j 17.08 V
• U_q2 = 10.6 V /12° = 10.37 V + j 2.2 V
• Addition Realteile und Imaginärteile
• U_q1 + U_q2 = 14.95 V + j 19.28 V
• P-Form
• \( \underline{U} = \sqrt{Re\{\underline{U}\}^2 + Im\{\underline{U}\}^2} \underline{/ arctan \left( \frac{Im\{\underline{U}\}} {Re\{\underline{U}\}}\right)} \)
• U = 24.4 V /52.2°

Formelzeichen für Wechselgrößen

• u zeitlich veränderliche elektrische Spannung
• û Amplitude, Maximalwert der sinusförmigen Spannung
• u komplexe Zeitfunktion der elektrischen Spannung
• û komplexe Amplitude der elektrischen Spannung
• U elektrische Spannung (Gleichspannung, Effektivwert)
• U komplexer Effektivwert der elektrischen Spannung

•   Unterstreichen: komplex
• û   Amplitude

Fragen

• Beschreiben Sie die Konstruktion des Liniendiagramms einer Sinusschwingung mit Hilfe eines rotierenden Zeigers.
• Wie lautet das vollständige komplexe Stromsymbol?
• Worin besteht der Unterschied zwischen dem vollständigen komplexen Symbol einer Spannung und der komplexen Spannung?
• Welche Kenngrößen einer Sinusschwingung werden im komplexen Symbol verwendet?
• Unter welcher Voraussetzung kann die Addition von Sinusschwingungen auf die Addition der komplexen Symbole zurückgeführt werden?

Rechnung für Sinusförmige Wechselgrößen

• Überlagerung sinusförmiger Wechselgrößen
• Differentialgleichungen
• Im Zeitbereich
• Mit Hilfe von komplexen Zeitfunktionen
• Berechnung im komplexen
• Zeigerdiagramm mit komplexen Effektivwerten (grafisches Verfahren)
• Algebraische Gleichung in komplexen Effektivwerten (Symbolische Methode)

Test Reihenschaltung komplexer Spannungsquellen

Zwei sinusförmige Spannungsquellen U_q1 = 10 V /30° und U_q2 = 20 V /60° sind in Reihe geschaltet.
Bestimmen Sie die Gesamtspannung rechnerisch und mit einem Zeigerdiagramm.

Reihenschaltung R und L: Berechnungsbeispiel

• Differentialgleichungen
• u(t) = û sin(ωt+φ_u) = R i(t) + L di/dt
• Strom: i(t) = î e^jωt
  d i(t)/dt = jω î e^jωt
  
• Im komplexen
• u(t) = û e^j(ωt+φu) = R i(t) + j ω L i(t)
• Algebraische Gleichung: Effektivwerte
• U = (R + j ω L )I
• Zeigerdiagramm
  

\( \underline{U} = j \omega L \underline{I} \)

\( u_L = L \frac{di}{dt} \)

Hilfsmittel Differentialgleichung

\( u_L = L \frac{di}{dt} \)

\( \frac{d sin(\omega t + \phi)}{dt} = \omega cos(\omega t+\phi) \)

i = î sin(ωt + φ)

u_R = R i = R î sin(ωt + φ)

u_L = L di/dt = ω L î cos(ωt + φ)

u = u_R + u_L = R î sin(ωt + φ) + ω L î cos(ωt + φ)

u = u_R + u_L = R î sin(ωt + φ) + ω L î sim(ωt + φ + π/2)

Die Überlagerung zweier Sinusschwingungen ergibt wieder eine Sinusgröße

Komplexe Zahlen und Operationen

z = x + j y	mit \( j = \sqrt{ -1} \)
z = r ( cos φ + j sin φ)	mit \( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \) mit φ = arctan(x/y)
z = r ejφ	Eulersche Formel

Operationen

Multiplikation, Division, Differential
\( \underline{z}_1 \underline{z}_2 = r_1 r_2 e^{j(\phi_1 + \phi_2)} = r_1 r_2 \underline{/ \phi_1 + \phi_2} \)

\( \frac{\underline{z}_1}{ \underline{z}_2} = \frac{r_1}{ r_2} e^{j(\phi_1 - \phi_2)} = \frac{r_1}{ r_2} \underline{/\phi_1 - \phi_2} \)

\( \frac{d e^{j \omega t}}{dt} = j \omega e^{j \omega t} \)

Fragen

• Was sind die Vorteile der Berechnung von Spannungen und Strömen im komplexen?
• Was sind die R-Form und die P-Form?
• Wie führen Sie die R-Form in die P-Form über?
• Wann wenden Sie die R-Form an, wann die P-Form?
• Welche praktische Bedeutung hat die Überlagerung von sinusförmigen Wechselgrößen?
• Was passiert bei der Überlagerung von sinusförmigen Wechselgrößen gleicher Frequenz?
• Was passiert bei der Überlagerung von sinusförmigen Wechselgrößen unterschiedlicher Frequenz?

Zusammenfassung und nächstes Mal

• Zeigerdarstellung
• Addition von Zeigern
• Komplexe Symbole
• P-Form: Versorschreibweise
• R-Form
• Umrechnung zwischen P-Form und R-Form

06 Komplexe Lineare Zweipole