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Hochschule Kempten      
Fakultät Elektrotechnik      
GET2       Fachgebiet Elektronik, Prof. Vollrath      

Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

05 Zeigerdarstellung

Komplexe Rechnung

Prof. Dr. Jörg Vollrath


04 SPICE



Video GET2 05 Zeigerdarstellung kompakt

Video der 19. Vorlesung 8.6.2021


Länge: 1:22:04
0:0:0 Evaluierung

0:0:0 Differenzverstärker

0:2:0 Eingangs und Ausgangswiderstand

Übersicht (08.04.2024)



Ziele



Zeigerdarstellung


  • Zeiger (phasor)
    • Unterstreichung: \underline{\hat{u}}
    • Zeitpunkt: t=0
  • Bezugsachse

Addition im Zeigerdiagramm


Beispiel: Überlagerung von Sinusgrößen gleicher Frequenz


Zwei Quellen mit sinusförmiger Quellenspannung gleicher Frequenz sind in Reihe geschaltet.

\hat{u}_{q1} = 50 V; \phi_{u1} = 80°; f_1 = 50 Hz; \phi = \frac{80°}{180°} \cdot \pi = 1.3298
\hat{u}_{q2} = 30 V; \phi_{u2} = 15°; f_2 = 50Hz;

Komplexe Symbole (4.4.2023)


  • Nachteil Zeigerdiagramm: Zeichengenauigkeit
  • Mathematische Beschreibung von Zeigern: komplexe Zahlen
    \underline{\hat{u}} = a + j b mit j = \sqrt{-1}
  • Bezugsachse ist die reelle Achse
  • Zeitpunkt t = 0
    • Realteil: \hat{u} cos \phi_u
    • Imaginärteil: \hat{u} sin \phi_u
  • Spannung in der komplexen Ebene
    • \underline{u}(t) = \hat{u} cos(\omega t + \phi_u) + j \hat{u} sin( \omega t + \phi_u )
  • Eulersche Gleichung
    e^{j \phi} = cos \phi + j sin \phi
  • \underline{u}(t) = \hat{u} e^{j(\omega t + \phi_u)}
  • Vollständiges komplexes Symbol

R-Form und P-Form


R-Form


P-Form


\underline{Z} = R + j X

R = Z cos\phi

X = Z sin\phi

Addition von Spannungen und Strömen
Reihenschaltung von Widerständen

\underline{Z} = R + j X = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2
\underline{Z} = (R_1 + R_2) + j (X_1 + X_2)
\underline{Z} = Z \underline{/\phi} = Z \cdot e^{j\phi}

Z = \sqrt{R^{2} + X^{2}}

\phi = arctan{\frac{X}{R}}

Multiplikation, Division
Umwandlung Widerstand und Leitwert

Rechnung für Sinusförmige Wechselgrößen


Überlagerung sinusförmiger Wechselgrößen

  • Differentialgleichung
    • Im Zeitbereich
    • Mit Hilfe von komplexen Zeitfunktionen
  • Berechnung im komplexen
    • Zeigerdiagramm mit komplexen Effektivwerten (grafisches Verfahren)
    • Algebraische Gleichung in komplexen Effektivwerten (Symbolische Methode)

Komplexe Symbole P-Form: Polarkoordinaten


Komplexe Symbole R-Form: rechtwinklige Koordinaten


Formelzeichen für Wechselgrößen


Fragen


Rechnung für Sinusförmige Wechselgrößen


Test Reihenschaltung komplexer Spannungsquellen


Zwei sinusförmige Spannungsquellen Uq1 = 10 V /30° und Uq2 = 20 V /60° sind in Reihe geschaltet.
Bestimmen Sie die Gesamtspannung rechnerisch und mit einem Zeigerdiagramm.

Reihenschaltung R und L: Berechnungsbeispiel


\underline{U} = j \omega L \underline{I}


u_L = L \frac{di}{dt}

Hilfsmittel Differentialgleichung


u_L = L \frac{di}{dt}

\frac{d sin(\omega t + \phi)}{dt} = \omega cos(\omega t+\phi)

i = î sin(ωt + φ)

uR = R i = R î sin(ωt + φ)

uL = L di/dt = ω L î cos(ωt + φ)

u = uR + uL = R î sin(ωt + φ) + ω L î cos(ωt + φ)

u = uR + uL = R î sin(ωt + φ) + ω L î sim(ωt + φ + π/2)

Die Überlagerung zweier Sinusschwingungen ergibt wieder eine Sinusgröße

Komplexe Zahlen und Operationen


z = x + j y mit j = \sqrt{ -1}
z = r ( cos φ + j sin φ) mit r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}
mit φ = arctan(x/y)
z = r e Eulersche Formel

Operationen

Multiplikation, Division, Differential
\underline{z}_1 \underline{z}_2 = r_1 r_2 e^{j(\phi_1 + \phi_2)} = r_1 r_2 \underline{/ \phi_1 + \phi_2}

\frac{\underline{z}_1}{ \underline{z}_2} = \frac{r_1}{ r_2} e^{j(\phi_1 - \phi_2)} = \frac{r_1}{ r_2} \underline{/\phi_1 - \phi_2}

\frac{d e^{j \omega t}}{dt} = j \omega e^{j \omega t}

Fragen


Zusammenfassung und nächstes Mal

06 Komplexe Lineare Zweipole


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