Hochschule Kempten      
Fakultät Elektrotechnik      
Elektronik       Fachgebiet Elektronik, Prof. Vollrath      

Elektronik

03 Berechnung

Prof. Dr. Jörg Vollrath



02 Groessen      



Übersicht, Lernziele

  • Kirchhoffsche Regeln: Knoten- und Maschengleichungen
  • Quellenumwandlung
  • Superposition
  • Knotenpotentialverfahren

Ziel:

Bestimmung von Spannungen, Strömen und Leistung in einer elektrischen Schaltung.

Übersicht

  • Verbraucherpfeilsystem
    Einzeichnen von Spannungen und Strömen
  • Ohmsches Gesetz und Leistung
    \( R = \frac{U}{I} \) und P = U · I
  • Kirchhoffsches Gesetz
    Knoten und Maschen
  • Widerstände in Reihe:
    Ersatzwiderstand und Teilspannung

Kirchhoffsche Regeln


Beispiel Kirchhoffsche Regeln

  • Zeichnen Sie Spannungen und Ströme ein.<\li>
  • Die Summe der Ströme an einem Knoten ist Null.
    Ein Knoten ist die Verbindung von Leitungen zwischen mehereren Bauteilen.

    \( \sum I_i = 0 \)

    Stellen Sie die Stromgleichungen auf.

  • Die Summe der Spannungen für einen Maschenumlauf ist Null
    Eine Masche ist ein über Bauteile, Leitungen geschlossener Umlauf in einem Schaltkreis.

    \( \sum U_i = 0 \)

    Stellen Sie die Maschengleichungen auf.

Beispiel 2 Kirchhoffsche Regeln

  • Zeichnen Sie Spannungen und Ströme ein.
  • Die Summe der Ströme an einem Knoten ist Null.
    Ein Knoten ist die Verbindung von Leitungen zwischen mehereren Bauteilen.

    \( \sum I_i = 0 \)

    Stellen Sie die Stromgleichungen auf.

  • Die Summe der Spannungen für einen Maschenumlauf ist Null
    Eine Masche ist ein über Bauteile, Leitungen geschlossener Umlauf in einem Schaltkreis.

    \( \sum U_i = 0 \)

    Stellen Sie die Maschengleichungen auf.

Spannungsteiler und Stromteiler

Spannungsteiler


Der Strom ist fliesst durch beide Widerstände.
\( I = \frac{U}{R_1+R_2} = \frac{U_1}{R_1}\)
\( U_1 = U \frac{R_1}{R_1+R_2}\)

Spannungsteiler, Wikipedia

Stromteiler


Die gleiche Spannung liegt an beiden Widerständen.

\( U = I_1 \cdot R_1 = I2 \cdot R_2 = I \cdot \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}\)
\( I = I_1 + I_2 \)

Stromteiler, Wikipedia

Quellenumwandlung 1

Werkzeuge


Knotengleichung: I = I1 +I2
Ohmsches Gesetz: U = I · R
Quellenumwandlung: UL = IK · RI
Parallelschaltung von Widerständen: \( R = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} } \)

Quellenumwandlung 2

Ersetzen und Umzeichnen

Quellenumwandlung 3


\( U_e = (I_1+I_2)\frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} \)

Superposition 1

Ersetzung: Spannungsquelle Kurzschluß, Stromquelle Unterbrechung
Reihenschaltung von Widerständen: R = R1 + R1
Parallelschaltung von Widerständen: \( R = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} } \)
Spannungsteiler

Es wird immer nur eine Quelle betrachtet und alle andern Quellen mit Kurzschluss oder Unterbrechung ersetzt.
Da das System linear ist, können dann alle Ströme bzw. Spannungen aufaddiert werden.

Superposition 2


\( U_{e1} = U_1 \frac{\frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}} {R_1 + \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}} \)

\( U_{e2} = U_2 \frac{\frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3}}} {R_2 + \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3}}} \)
\( U_{e} = U_{e1} + U_{e2} = \frac{U_1}{R_1} \frac{1} {\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} + \frac{U_2}{R_2} \frac{1} {\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} \)

Knotenpotentialverfahren einfach

Es gibt leider nur einen Knoten UE
Umwandlung realer Spannungsquellen in Stromquellen
\( I_1 = \frac{U_1}{R_1} \)
\( I_2 = \frac{U_2}{R_2} \)
Aufstellung des Gleichungssystems in Matrixform

(G)(U) = (I)

\( \left( G_1 + G_2 + G_3 \right) \left( U_E \right) = \left( I_1 + I_2 \right) \)

\( U_{e} = \frac{U_1}{R_1} \frac{1} {\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} + \frac{U_2}{R_2} \frac{1} {\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} \)

Knotenpotentialverfahren

Es gibt die Knoten UE und UX
Umwandlung realer Spannungsquellen in Stromquellen
\( I_2 = \frac{U_2}{R_2} \)
Aufstellung des Gleichungssystems in Matrixform

(G)(U) = (I)

\( \left( \begin{array}{rrr} G_4 + G_1 & -G_1 \\ -G_1 & G_1 + G_2 + G_3 \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{rrr} U_X \\ U_E \\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{rrr} I_1 \\ I_2 \\ \end{array}\right) \)

Auf der Hauptdiagonale sitzen alle Leitwerte die mit dem entsprechenden Spannungsknoten verbunden sind.
Die anderen Koeffizienten sind die Leitwerte, die direkt zwischen den entsprechenden Potentialen liegen.

Knotenpotentialverfahren

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