Übersicht, Lernziele
Ziel:Bestimmung von Spannungen, Strömen und Leistung in einer elektrischen Schaltung. |
Übersicht
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Reihenschaltung
Gesucht sind Ströme, Spannungen und Ersatzwiderstand der Schaltung
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Kirchhoffsche Regeln
- Die Summe der Ströme an einem Knoten ist Null.
Ein Knoten ist die Verbindung von Leitungen zwischen mehereren Bauteilen.
\( \sum I_i = 0 \)
- Die Summe der Spannungen für einen Maschenumlauf ist Null
Eine Masche ist ein über Bauteile, Leitungen geschlossener Umlauf in einem Schaltkreis.
\( \sum U_i = 0 \)
Beispiel Kirchhoffsche Regeln
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Version 4 SHEET 1 880 680 WIRE 112 80 0 80 WIRE 224 80 192 80 WIRE 256 80 224 80 WIRE 368 80 336 80 WIRE 0 112 0 80 WIRE 224 128 224 80 WIRE 0 224 0 192 WIRE 224 224 224 208 WIRE 224 224 0 224 WIRE 368 224 368 80 WIRE 368 224 224 224 WIRE 0 240 0 224 WIRE 0 0 0 0 FLAG 0 240 0 SYMBOL res 208 64 R90 WINDOW 0 0 56 VBottom 2 WINDOW 3 32 56 VTop 2 SYMATTR InstName R1 SYMATTR Value 100 SYMBOL res 352 64 R90 WINDOW 0 0 56 VBottom 2 WINDOW 3 32 56 VTop 2 SYMATTR InstName R2 SYMATTR Value 100 SYMBOL res 240 224 R180 WINDOW 0 36 76 Left 2 WINDOW 3 36 40 Left 2 SYMATTR InstName R3 SYMATTR Value 100 SYMBOL voltage 0 96 R0 SYMATTR InstName V1 SYMATTR Value 1 TEXT 32 248 Left 2 !.op |
Beispiel 2 Kirchhoffsche Regeln
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Version 4 SHEET 1 880 680 WIRE 112 80 0 80 WIRE 224 80 192 80 WIRE 368 80 224 80 WIRE 0 112 0 80 WIRE 224 128 224 80 WIRE 0 224 0 192 WIRE 64 224 0 224 WIRE 224 224 224 208 WIRE 224 224 144 224 WIRE 256 224 224 224 WIRE 368 224 368 80 WIRE 368 224 336 224 WIRE 0 288 0 224 WIRE 176 288 0 288 WIRE 368 288 368 224 WIRE 368 288 256 288 WIRE 0 304 0 288 FLAG 0 304 0 SYMBOL res 208 64 R90 WINDOW 0 0 56 VBottom 2 WINDOW 3 32 56 VTop 2 SYMATTR InstName R1 SYMATTR Value 100 SYMBOL res 240 224 R180 WINDOW 0 36 76 Left 2 WINDOW 3 36 40 Left 2 SYMATTR InstName R2 SYMATTR Value 100 SYMBOL voltage 0 96 R0 SYMATTR InstName V1 SYMATTR Value 1 SYMBOL res 352 208 R90 WINDOW 0 0 56 VBottom 2 WINDOW 3 32 56 VTop 2 SYMATTR InstName R4 SYMATTR Value 100 SYMBOL res 160 208 R90 WINDOW 0 0 56 VBottom 2 WINDOW 3 32 56 VTop 2 SYMATTR InstName R5 SYMATTR Value 100 SYMBOL res 272 272 R90 WINDOW 0 0 56 VBottom 2 WINDOW 3 32 56 VTop 2 SYMATTR InstName R3 SYMATTR Value 100 TEXT 32 336 Left 2 !.op |
Spannungsteiler und Stromteiler
SpannungsteilerDer Strom ist fliesst durch beide Widerstände. \( I = \frac{U}{R_1+R_2} = \frac{U_1}{R_1}\) \( U_1 = U \frac{R_1}{R_1+R_2}\) Spannungsteiler, Wikipedia |
StromteilerDie gleiche Spannung liegt an beiden Widerständen. \( U = I_1 \cdot R_1 = I2 \cdot R_2 = I \cdot \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}\) \( I = I_1 + I_2 \) Stromteiler, Wikipedia |
Quellenumwandlung 1
WerkzeugeKnotengleichung: I = I1 +I2 Ohmsches Gesetz: U = I · R Quellenumwandlung: UL = IK · RI Parallelschaltung von Widerständen: \( R = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} } \) |
Version 4 SHEET 1 880 680 WIRE 368 160 80 160 WIRE 368 176 368 160 WIRE 80 192 80 160 WIRE 80 288 80 272 WIRE 256 304 144 304 WIRE 368 304 368 256 WIRE 368 304 336 304 WIRE 416 304 368 304 WIRE 368 320 368 304 WIRE 144 336 144 304 WIRE 144 432 144 416 WIRE 368 432 368 400 FLAG 368 432 0 FLAG 80 288 0 FLAG 144 432 0 FLAG 416 304 VE SYMBOL res 352 160 R0 SYMATTR InstName R1 SYMATTR Value 10k SYMBOL res 352 304 R0 SYMATTR InstName R3 SYMATTR Value 10 SYMBOL res 240 320 R270 WINDOW 0 32 56 VTop 2 WINDOW 3 0 56 VBottom 2 SYMATTR InstName R2 SYMATTR Value 100k SYMBOL voltage 80 176 R0 WINDOW 123 0 0 Left 2 WINDOW 39 0 0 Left 2 SYMATTR InstName V1 SYMATTR Value 3 SYMBOL voltage 144 320 R0 WINDOW 123 24 124 Left 2 WINDOW 39 0 0 Left 2 SYMATTR InstName V2 SYMATTR Value 4 TEXT 216 216 Left 2 !.op |
Quellenumwandlung 2
Ersetzen und Umzeichnen
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Version 4 SHEET 1 880 680 WIRE 48 160 -32 160 WIRE 176 160 48 160 WIRE 272 160 176 160 WIRE 368 160 272 160 WIRE 416 160 368 160 WIRE 368 176 368 160 WIRE -32 192 -32 160 WIRE 48 192 48 160 WIRE 176 192 176 160 WIRE 272 192 272 160 WIRE -32 288 -32 272 WIRE 48 288 48 272 WIRE 176 288 176 272 WIRE 272 288 272 272 WIRE 368 288 368 256 FLAG 368 288 0 FLAG -32 288 0 FLAG 416 160 VE FLAG 48 288 0 FLAG 176 288 0 FLAG 272 288 0 SYMBOL res 32 176 R0 SYMATTR InstName R1 SYMATTR Value 10k SYMBOL res 352 160 R0 SYMATTR InstName R3 SYMATTR Value 10 SYMBOL res 256 176 R0 SYMATTR InstName R2 SYMATTR Value 100k SYMBOL current -32 272 R180 WINDOW 0 24 80 Left 2 WINDOW 3 24 0 Left 2 SYMATTR InstName I1 SYMATTR Value 0.3m SYMBOL current 176 272 R180 WINDOW 0 24 80 Left 2 WINDOW 3 24 0 Left 2 SYMATTR InstName I2 SYMATTR Value 40� TEXT -104 144 Left 2 !.op |
Quellenumwandlung 3
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\( U_e = (I_1+I_2)\frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} \) |
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Superposition 1
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Ersetzung: Spannungsquelle Kurzschluß, Stromquelle Unterbrechung Reihenschaltung von Widerständen: R = R1 + R1 Parallelschaltung von Widerständen: \( R = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} } \) Spannungsteiler |
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Es wird immer nur eine Quelle betrachtet und alle andern Quellen mit Kurzschluss oder Unterbrechung ersetzt.
Da das System linear ist, können dann alle Ströme bzw. Spannungen aufaddiert werden.
Da das System linear ist, können dann alle Ströme bzw. Spannungen aufaddiert werden.
Superposition 2
Version 4 SHEET 1 880 680 WIRE 368 160 80 160 WIRE 368 176 368 160 WIRE 80 192 80 160 WIRE 80 288 80 272 WIRE 256 304 144 304 WIRE 368 304 368 256 WIRE 368 304 336 304 WIRE 416 304 368 304 WIRE 368 320 368 304 WIRE 144 432 144 304 WIRE 368 432 368 400 FLAG 368 432 0 FLAG 80 288 0 FLAG 144 432 0 FLAG 416 304 VE SYMBOL res 352 160 R0 SYMATTR InstName R1 SYMATTR Value 10k SYMBOL res 352 304 R0 SYMATTR InstName R3 SYMATTR Value 10 SYMBOL res 240 320 R270 WINDOW 0 32 56 VTop 2 WINDOW 3 0 56 VBottom 2 SYMATTR InstName R2 SYMATTR Value 100k SYMBOL voltage 80 176 R0 WINDOW 123 0 0 Left 2 WINDOW 39 0 0 Left 2 SYMATTR InstName V1 SYMATTR Value 3 TEXT 216 216 Left 2 !.op \( U_{e1} = U_1 \frac{\frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}} {R_1 + \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}} \) |
Version 4 SHEET 1 880 680 WIRE 368 160 80 160 WIRE 368 176 368 160 WIRE 80 288 80 160 WIRE 256 304 144 304 WIRE 368 304 368 256 WIRE 368 304 336 304 WIRE 416 304 368 304 WIRE 368 320 368 304 WIRE 144 336 144 304 WIRE 144 432 144 416 WIRE 368 432 368 400 FLAG 368 432 0 FLAG 80 288 0 FLAG 144 432 0 FLAG 416 304 VE SYMBOL res 352 160 R0 SYMATTR InstName R1 SYMATTR Value 10k SYMBOL res 352 304 R0 SYMATTR InstName R3 SYMATTR Value 10 SYMBOL res 240 320 R270 WINDOW 0 32 56 VTop 2 WINDOW 3 0 56 VBottom 2 SYMATTR InstName R2 SYMATTR Value 100k SYMBOL voltage 144 320 R0 WINDOW 123 24 124 Left 2 WINDOW 39 0 0 Left 2 SYMATTR InstName V2 SYMATTR Value 4 TEXT 216 216 Left 2 !.op \( U_{e2} = U_2 \frac{\frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3}}} {R_2 + \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3}}} \) |
Knotenpotentialverfahren einfach
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Es gibt leider nur einen Knoten UE Umwandlung realer Spannungsquellen in Stromquellen \( I_1 = \frac{U_1}{R_1} \) \( I_2 = \frac{U_2}{R_2} \) Aufstellung des Gleichungssystems in Matrixform (G)(U) = (I) \( \left( G_1 + G_2 + G_3 \right) \left( U_E \right) = \left( I_1 + I_2 \right) \) \( U_{e} = \frac{U_1}{R_1} \frac{1} {\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} + \frac{U_2}{R_2} \frac{1} {\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} \) |
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Knotenpotentialverfahren
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Es gibt die Knoten UE und UX Umwandlung realer Spannungsquellen in Stromquellen \( I_2 = \frac{U_2}{R_2} \) Aufstellung des Gleichungssystems in Matrixform (G)(U) = (I) \( \left( \begin{array}{rrr} G_4 + G_1 & -G_1 \\ -G_1 & G_1 + G_2 + G_3 \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{rrr} U_X \\ U_E \\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{rrr} I_1 \\ I_2 \\ \end{array}\right) \) |
Version 4 SHEET 1 880 680 WIRE 160 160 80 160 WIRE 272 160 160 160 WIRE 368 160 272 160 WIRE 80 176 80 160 WIRE 160 176 160 160 WIRE 368 176 368 160 WIRE 80 272 80 256 WIRE 160 272 160 256 WIRE 256 304 144 304 WIRE 368 304 368 256 WIRE 368 304 336 304 WIRE 416 304 368 304 WIRE 368 320 368 304 WIRE 144 336 144 304 WIRE 144 432 144 416 WIRE 368 432 368 400 FLAG 368 432 0 FLAG 80 272 0 FLAG 144 432 0 FLAG 416 304 VE FLAG 160 272 0 FLAG 272 160 Vx SYMBOL res 352 160 R0 SYMATTR InstName R1 SYMATTR Value 10k SYMBOL res 352 304 R0 SYMATTR InstName R3 SYMATTR Value 30k SYMBOL res 240 320 R270 WINDOW 0 32 56 VTop 2 WINDOW 3 0 56 VBottom 2 SYMATTR InstName R2 SYMATTR Value 20k SYMBOL voltage 144 320 R0 WINDOW 123 24 124 Left 2 WINDOW 39 0 0 Left 2 SYMATTR InstName V2 SYMATTR Value 4 SYMBOL res 144 160 R0 SYMATTR InstName R4 SYMATTR Value 50k SYMBOL current 80 256 R180 WINDOW 0 24 80 Left 2 WINDOW 3 24 0 Left 2 SYMATTR InstName I1 SYMATTR Value 20� TEXT 272 216 Left 2 !.op |
Auf der Hauptdiagonale sitzen alle Leitwerte die mit dem entsprechenden Spannungsknoten verbunden sind.
Die anderen Koeffizienten sind die Leitwerte, die direkt zwischen den entsprechenden Potentialen liegen.
Knotenpotentialverfahren
Die anderen Koeffizienten sind die Leitwerte, die direkt zwischen den entsprechenden Potentialen liegen.
Knotenpotentialverfahren