Hochschule Kempten      
Fakultät Elektrotechnik      
Elektronik       Fachgebiet Elektronik, Prof. Vollrath      

Elektronik

10 Komplexe Rechnung

Prof. Dr. Jörg Vollrath




Video der 15. Vorlesung


Länge: 01:28:01
0:0:0 Willlkommen

0:0:21 QR code

0:2:19 Komplexe Rechnung

0:5:1 Audioverstärker

0:9:14 Blockdiagramm

0:10:15 Messung mit R, L, C

0:13:19 Waveforms

0:13:49 Signalgenerator: Frequenz, Amplitude

0:15:43 Frequenz und Periodendauer, Ergebnissicherung

0:18:8 Oszilloskop

0:19:13 Der Trigger Source, Condition, Level

0:21:3 x-Achse, Zeit, Time, Base

0:22:13 Messung

0:23:29 y-Achse, Range, zu klein, zu gross, abschneiden

0:24:58 Stromberechnung M3 =( U1 -U2)/100 Ohm

0:28:18 Signal der Kapazität auf dem Oszilloskop

0:29:48 Phasenverschiebung

0:31:38 Zeigerdarstellung

0:32:56 ω Kreisfrequenz

0:34:13 Komplexe Zahlen

0:38:1 R-Form und P-Form

0:40:39 Rechnung Differentialgleichung, Komplexe Funktion

0:42:3 Ohmsches Gesetz im komplexen

0:44:13 Komplexe Operationen Multiplikation

0:47:43 Oszilloskopbild 20 kHz der Kapazität 90° Phasenunterschie

0:49:29 50 kHz Frequenz

0:50:35 10 kHz Frequenz

0:53:3 Komplexe Widerstände I = j W C U

0:53:48 Messung der Induktivität

0:56:43 U = j w L I

0:59:56 Differentialgleichung L

1:1:57 Vergleich mit Oszilloskopbild

1:4:42 Differentialgleichung C

1:5:12 Komplexer Widerstand Internetseite

1:6:33 Lösungsanzeige

1:8:21 Modifikation der Bauelemente

1:11:8 Rechnen Sie 4 komplexe Widerstände aus

1:15:42 Methode zum Zusammenfassen von Widerständen

1:17:47 Z = R + jX

1:19:42 Y = G + jB = 1/Z

1:21:26 Ansatz nochmals überprüfen

1:22:32 Weitere Umformung

1:24:47 Konjugiert komplex erweitern

1:26:59 Betrag

Übersicht


Audioverstärker



Projekt 2. Semester Audioverstärker




Wo stehen Sie bei der Betrachtung von Wechselspannungsnetzwerken?

Messung mit R, L und C


Messung mit 20kHz



  • R = 100 Ω
  • C1 = 45 nF
  • L1 = 2.18 mH, 20 Ω


Spannungen und Widerstände werden mit komplexen Symbolen dargestellt.


Jede reale Spule hat einen ohmschen Widerstand und eine Induktivität.

Fragen:

Was ist eine Oszilloskop?
Was beobachten Sie?
Welche Kenngrößen einer Sinusschwingung gibt es?
Was passiert, wenn man diese verändert?

Die Schaltung wird mit dem Electronic Explorer Board verbunden.
P18 AWG1, OSC1; P1,P11,P12, GND; P5 OSC2 (R), P23 OSC3 C, P13 OSC4 (L)
Berechnung der Ströme:
IR: M1 = (C1 -C4) / 100
IC: M2 = (C1-C3)/100
IL: M3 = (C1-C2)/100

Oszilloskop


In einem festen Zeitraster werden Spannungen mit einem Analog-Digital-Wandler erfasst.
Das Zeitraster (Time, Base), x-Achse und die Spannungsauflösung (Range), y-Achse kann man einstellen.
Mit der Position und dem Offset kann man die Darstellung nach rechts oder links bzw. oben oder unten verschieben.
Ein Trigger (Source, Condition, Level) sorgt für ein stehendes Bild.

Messung


Kapazität
f20 kHz50 kHz10 kHz
C3U2.6 V1.74 V2.9 V
M2I15 mA24.6 mA8.3 mA
Je höher die Frequenz, desto kleiner der Widerstand.

\( \frac{U}{I} = \frac{1}{\omega C} \)
\( \frac{\underline{U}}{\underline{I}} = \frac{1}{j \omega C} = \underline{Z}_C \)

Induktivität
f20 kHz50 kHz10 kHz
C4U2.72 V2.95 V2.2 V
M1I10.54 mA4.79 mA17.48 mA
Je höher die Frequenz, desto größer der Widerstand.

\( \frac{\underline{U}}{\underline{I}} = j \omega L = \underline{Z}_L \)

Zeigerdarstellung


Eine Sinusfunktion wird mit einer komplexen Zahl dargestellt.
Die komplexe Zahl enthält Betrag und Phasenwinkel zum Zeitpunkt t = 0 s.

Komplexe Zahlen und Rechnung


Mathematische Beschreibung von Zeigern: komplexe Zahlen

U = a + j b        mit \( j = \sqrt{-1} \)
Bezugsachse ist die reelle Achse

Zeitpunkt t = 0
  • Realteil: û cos φu
  • Imaginärteil: û sin φu
û: Amplitude

Spannung in der komplexen Ebene.
u(t) = û cos(ω t + φu) + j û sin(ω t + φu)
Eulersche Gleichung
\( e^{j \phi} = cos \phi + j sin\phi \)

Komplexe Spannung und komplexer Strom
In der Elektrotechnik wird mit j statt i gerechnet.
Quelle: GET2_04_17

R-Form und P-Form


R-Form


P-Form


\( \underline{Z} = R + j X \)

\( R = Z cos\phi \)

\( X = Z sin\phi \)

Addition von Spannungen und Strömen
Reihenschaltung von Widerständen

\( \underline{Z} = R + j X = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 \)
\( \underline{Z} = (R_1 + R_2) + j (X_1 + X_2) \)
\( \underline{Z} = Z \underline{/\phi} = Z \cdot e^{j\phi}\)

\( Z = \sqrt{R^{2} + X^{2}} \)

\( \phi = arctan{\frac{X}{R}} \)

Multiplikation, Division
Umwandlung Widerstand und Leitwert

Rechnung für Sinusförmige Wechselgrößen


Überlagerung sinusförmiger Wechselgrößen

  • Differentialgleichung
    • Im Zeitbereich
    • Mit Hilfe von komplexen Zeitfunktionen
  • Berechnung im komplexen
    • Zeigerdiagramm mit komplexen Effektivwerten (grafisches Verfahren)
    • Algebraische Gleichung in komplexen Effektivwerten (Symbolische Methode)

Ohmsches Gesetz im Komplexen


Bisher:

\( U = I \cdot R = \frac{I}{G} \)
R: Widerstand, G: Leitwert

Komplex:
\( \underline{U} = \underline{I} \cdot \underline{Z} = \frac{\underline{I}}{\underline{Y}} \)

Komplexer Widerstand in R- und P-Form:
\( \underline{Z} = R + j X = Z \underline{/\phi}\)

Realteil R : Wirkwiderstand, Resistanz (resistance)
Imaginärteil X: Blindwiderstand, Reaktanz (reactance)
\( \underline{/\phi} \): man spricht Versor φ, Winkel φ

Komplexer Leitwert in R- und P-Form:
\( \underline{Y} = G + j B = Y \underline{/-\phi} \)


Grundzweipole


Idealer Ohmscher Zweipol

Idealer induktiver Zweipol

Idealer kapazitiver Zweipol




Induktivität


Differentialgleichung


\( u_{L} = L \frac{d I}{d t} \)

Komplexer Widerstand


\( \underline{u}(t) = \hat{u} e^{j(\omega t + \phi_{u})} \)

\( \underline{Z} = j \omega L \)

Komplexes Ohmsches Gesetz


\( \underline{U} = j \omega L \underline{I}\)

Kapazität


Differentialgleichung


\( i_{C} = C \frac{d U}{d t} \)

Komplexer Widerstand


\( \underline{u}(t) = \hat{u} e^{j(\omega t + \phi_{u})} \)

\( \underline{Z} = \frac{1}{j \omega C} \)

Komplexes Ohmsches Gesetz


\( \underline{U} = \frac{\underline{I}}{j \omega C} \)

Zusammenschaltung


Es gelten die Regeln für Parallelschaltung
\( \underline{Z} = \frac{1}{\frac{1}{\underline{Z}_1} + \frac{1}{\underline{Z}_2}} \)

und Reihenschaltung:
\( \underline{Z} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 \)

Die Brüche werden solange erweitert, bis nur ein einfacher Bruch übrig bleibt.
Das Polynom in Zähler und Nenner wird durch Suche der Nullstellen zerlegt.

\( \underline{Z} = \frac{ x_1 \cdot (j)^2 + jy_1 + z_1 }{x_2 \cdot (j)^2 + jy_2 + z_2} = \frac{ (a_1 + jb_1) (a_2 + jb_2) }{(a_3 + jb_3) (a_4 + jb_4)} \)
Für jeden Term a + jb wird der Betrag und Winkel gebildet und dann zusammen gefasst.

Es kann auch konjugiert komplex erweitert werden, um Real und Imaginärteil zu bilden.

\( \underline{Z} = \frac{1}{a + jb} \frac{a - jb}{a - jb} = \frac{a - jb}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{jb}{a^2 + b^2}\)

Übung komplexer Widerstand

Zusammenfassung



Rechnen Sie 4 Aufgaben von komplexen Widerständen und schicken Sie dem Dozenten via Email ihr Ergebnis als pdf: Übung komplexer Widerstand

Nächste Vorlesung:


15 Übertragungsfunktion und Simulation