Elektronik

19 Anwendung Operationsverstärker

Prof. Dr. Jörg Vollrath

18 Operationsverstaerker

Video der 19. Vorlesung 14.12.2020

Länge: 01:01:43

0:4:32 Komplexe Rechnung

0:7:5 Hochpass mit Kapazität und Widerstand

0:10:32 Integrator, Tiefpass

0:13:33 Übertragungsfunktion Endform

0:16:9 LTSPICE Integrator

0:18:37 Bodediagramm

0:20:37 Verifikation der Rechnung

0:23:37 Differentialgleichung

0:24:7 Aufgabe Frequenzgang

0:24:52 Parallelwiderstand

0:27:10 Stromgleichung

0:30:54 Schöne Übertragungsfunktion

0:32:54 Eingangswiderstand

0:36:30 Graph des Frequenzganges

0:42:54 LTSPICE zur Ergebnisverifikation

0:48:43 Gegenkopplung und Stabilität

0:52:57 Selbsterregung

0:54:39 Instabilität des Verstärkers am Beispiel

0:59:19 Überschwingen, Schwingung

Rückblick und Heute

Operationsverstärker

Frequenzgang, Gegenkopplung
Addierer, Subtrahierer

Heute:
Differenzierer (Hochpass)
Integrierer (Tiefpass)
Stabilität Rückgekoppelter Systeme

Reinhold Kap. 12 S.232 - 239
Jaeger: Chap. 10 S.529 -

Der Operationsverstärker ist eine integrierte Schaltung mit einem Differenzverstärker am Eingang und eine gesteuerten Spannungsquelle als Ausgangsstufe.
Es fliesst kein Strom in die Eingänge des Operationsverstärkers.
Der Eingangswiderstand ist deshalb unendlich.
Wird der Operationsverstärker mit einer negativen Rückkopplung betrieben, wird die Verstärkung in erster Näherung nur von den externen Elementen bestimmt.
Die Differenzspannung zwischen positiven und negativen Eingang wird fast Null.
Mit den Annahmen dass kein Strom in den Operationsverstärker fliesst und die Differenzspannung Null ist, kann man Knoten und Maschengleichungen zur Bestimmung der Verstärkung aufstellen.
Nachdem einfache Beschaltungen mit ohmschen Widerständen betrachtet wurden, werden jetzt Beschaltungen mit Kapazitäten untersucht.
Induktivitäten werden hier nicht betrachtet, da Sie in der Praxis mit genau definierten Werten und integriert auf einem Chip schwer zu realisieren sind.
Diese Schaltungen werden mit komplexer Rechnung analysiert und eine Übertragungsfunktion mit Polen und Nullstellen aufgestellt.
Die Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion erlauben es, den Frequenzgang mit den Grenzfrequenzen einfach zu bestimmen und Aussagen über die Stabilität des Systems zu geben.
Übertragungsfunktionen finden auch in der Regelungstechnik Anwendung.

Die Übertragungsfunktion wird so umgeformt, dass man Polynome von jω im Zähler und Nenner stehen hat.
Dann werden die Polynome zu Null gesetzt, um Nullstellen für den Zähler und Polstellen für den Nenner zu erhalten.
An den Nullstellen verändert sich die Phase der Übertragungsfunktion um 90° und ist genau 45°, da Realteil und Imaginärteil genau gleich gross sind.
Die Steigung der Übertragungsfunktion verändert sich um +20 dB/Dekade.
An den Polstellen verändert sich die Phase der Übertragungsfunktion um -90° und ist genau -45°.
Die Steigung der Übertragungsfunktion verändert sich um -20 dB/Dekade.

Hochpass, Differenzierer

Bestimmen Sie das Zeitverhalten und die Übertragungsfunktion der gezeigten Schaltung.

$I_C = I_R$
Differentialgleichung:

$C \frac{d U_e}{dt} = - \frac{U_a}{R}$

$U_a = - R \cdot C \frac{d U_e}{dt}$

$\tau = R \cdot C$

Komplexe Rechnung:

$\underline{I}_C = \underline{I}_R$

$j \omega C \underline{U}_e = - \frac{\underline{U}_a}{R}$

$\frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e} = - j \omega C \cdot R$

$A_v = 20 log | - \omega C \cdot R |$

Hochpass.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 112 16 96 16
WIRE 0 48 -32 48
WIRE 96 48 96 16
WIRE 96 48 64 48
WIRE 96 80 96 48
WIRE 112 80 96 80
WIRE 192 96 192 16
WIRE 192 96 176 96
WIRE 208 96 192 96
WIRE 112 112 96 112
WIRE 96 144 96 112
FLAG -32 48 Ve
IOPIN -32 48 In
FLAG 208 96 Va
IOPIN 208 96 Out
FLAG 96 144 0
SYMBOL Opamps\\opamp 144 32 R0
SYMATTR InstName U1
SYMBOL res 208 0 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 0
WINDOW 3 32 56 VTop 0
SYMATTR InstName R
SYMATTR Value ""
SYMBOL cap 64 32 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 0
WINDOW 3 32 32 VTop 0
SYMATTR InstName C
SYMATTR Value ""

Es wird die Knotengleichung aufgestellt.
Für die Ströme wird zum Einen die Differentialgleichung und zum Anderen das ohmsche Gesetz im Komplexen angewendet.
Es ergibt sich bei der Differentialgleichung das zeitliche Verhalten der Ausgangsspannung.
Im Komplexen wird das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung für die Übertragungsfunktion gebildet.
Die Lösung der Differentialgleichung zeigt das Verhalten als Differenzierer.
Nur die Änderung der Eingangsspannung ergibt eine von Null verschiedene Ausgangsspannung.
Keine Gleichspannung wird übertragen. Dies ist das gleiche Verhalten, dass schon bei den Verstärkergrundschaltungen angewendet wurde.
Die Übertragungsfunktion zeigt das Verhalten eines Hochpasses. Je höher die Frequenz desto größer ist die Verstärkung.
In der Realität wird die Verstärkung von der Übertragungsfunktion des Operationsverstärkers und der Versorgungsspannung begrenzt.
Die Ausgangsspannung ist um -90° (-jω) in der Phase verschoben.

Hochpass, Differenzierer

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion der gezeigten Schaltung.

Die Eingangsdifferenzspannung des Operationsverstärkers ist näherungsweise 0 V.
Knotengleichung:

$I = \frac{\underline{U}_e}{R_1 + \frac{1}{j \omega C}} = - \frac{\underline{U}_a}{R}$

$\frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e} = - \frac{R}{R_1 + \frac{1}{j \omega C}}$

$\frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e} = - \frac{R}{R_1} \frac{j \omega}{ j \omega + \frac{1}{C R_1}}$

Betrag:

$\left| \frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e} \right| = \frac{R}{R_1} \frac{\omega}{ \sqrt{ \omega^2 + \left( \frac{1}{C R_1} \right)^2 }}$

$20 log \left| \frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e} \right| = 20 log \frac{R}{R_1} + 20 log \omega - 20 log \sqrt{ \omega^2 + \left( \frac{1}{C R_1} \right)^2 }$
Phase:

$- j \omega$ gibt einen Winkel von -90°.

$\phi = -90° - arctan(\frac{\omega}{\frac{1}{C \cdot R_1}})$

$\phi = - 90° - arctan( \omega \cdot C \cdot R_1 )$

Hoch1.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 112 16 96 16
WIRE 32 48 16 48
WIRE 96 48 96 16
WIRE 96 80 96 48
WIRE 112 80 96 80
WIRE 192 96 192 16
WIRE 192 96 176 96
WIRE 208 96 192 96
WIRE 112 112 96 112
WIRE 96 144 96 112
FLAG -64 48 Ve
IOPIN -64 48 In
FLAG 208 96 Va
IOPIN 208 96 Out
FLAG 96 144 0
FLAG 96 16 Ux
SYMBOL res 208 0 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 62 57 VBottom 2
SYMATTR InstName R
SYMATTR Value 100k
SYMBOL cap 96 32 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 66 28 VBottom 2
SYMATTR InstName C
SYMATTR Value 1n
SYMBOL res 32 32 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 10k
SYMBOL OpAmpModel 144 96 R0
SYMATTR InstName X1
SYMATTR SpiceLine GBW=1E11
TEXT -136 -48 Left 2 !V1 VE 0 SINE(0 1 100) AC 1
TEXT -108 117 Left 2 !;ac dec 10 1 1G
TEXT -136 -8 Left 2 !.tran 0.1

Integrator

Bestimmen Sie das Zeitverhalten und die Übertragungsfunktion der gezeigten Schaltung.
Schalter für die Initialisierung, Anfangsbedingung

$U_a = - \frac{1}{RC} \int_{t_0}^{t1} U_e (t) dt + U_a(t_0)$

$\frac{\underline{U}_e }{R_1} = - \underline{U}_a j \omega C$

$\frac{\underline{U}_a }{\underline{U}_e} = - \frac{1}{j \omega C R_1}$

Integr.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 128 -96 96 -96
WIRE 192 -96 176 -96
WIRE 96 16 96 -96
WIRE 112 16 96 16
WIRE 192 16 192 -96
WIRE 192 16 176 16
WIRE -48 48 -80 48
WIRE 96 48 96 16
WIRE 96 48 32 48
WIRE 96 80 96 48
WIRE 112 80 96 80
WIRE 192 96 192 16
WIRE 192 96 176 96
WIRE 208 96 192 96
WIRE 112 112 96 112
WIRE 96 144 96 112
FLAG -80 48 Ve
IOPIN -80 48 In
FLAG 208 96 Va
IOPIN 208 96 Out
FLAG 96 144 0
SYMBOL Opamps\\opamp 144 32 R0
SYMATTR InstName U1
SYMBOL cap 176 0 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 0
WINDOW 3 32 32 VTop 0
SYMATTR InstName C
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 48 32 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 0
WINDOW 3 32 56 VTop 0
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value ""
LINE Normal 176 -112 128 -96
LINE Normal 176 -112 176 -112

Integrator

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion der gezeigten Schaltung.

$\frac{\underline{U}_e}{R_1} = - \underline{U}_a \left( j \omega C + \frac{1}{R} \right)$

$\frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e} = - \frac{1}{ j \omega C R_1 + \frac {R_1}{R}}$

IntegrR.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 128 -112 96 -112
WIRE 192 -112 176 -112
WIRE 96 -64 96 -112
WIRE 112 -64 96 -64
WIRE 192 -64 192 -112
WIRE 96 16 96 -64
WIRE 112 16 96 16
WIRE 176 16 160 16
WIRE 192 16 192 -64
WIRE 192 16 176 16
WIRE -48 48 -80 48
WIRE 96 48 96 16
WIRE 96 48 32 48
WIRE 96 80 96 48
WIRE 112 80 96 80
WIRE 192 96 192 16
WIRE 192 96 176 96
WIRE 208 96 192 96
WIRE 112 112 96 112
WIRE 96 144 96 112
FLAG -80 48 Ve
IOPIN -80 48 In
FLAG 208 96 Va
IOPIN 208 96 Out
FLAG 96 144 0
SYMBOL Opamps\\opamp 144 32 R0
SYMATTR InstName U1
SYMBOL res 208 -80 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 50 61 VBottom 2
SYMATTR InstName R
SYMATTR Value 1k
SYMBOL cap 176 0 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 54 33 VBottom 2
SYMATTR InstName C
SYMATTR Value 1�
SYMBOL res 48 32 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 64 57 VBottom 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 1k
TEXT -152 -120 Left 2 !.include opamp.sub
TEXT -152 -88 Left 2 !VE VE 0 DC 1 AC 1
TEXT -152 -56 Left 2 !.ac dec 10 1 100k
LINE Normal 176 -128 128 -112
LINE Normal 176 -112 176 -112

Operationsverstärker mit unipolarer/ positiver Versorgungsspannung

Der Operationsverstärker hat eine Common Mode Range, die nicht bis zur Versorgungsspannung reicht.
Das Eingangssignal wird abgeschnitten.

Eine Hilfsspannung am positiven Eingang schiebt das Ausgangssignal in die Common Mode Range.

OpAmpInvUni.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE -16 -48 -32 -48
WIRE 96 -48 64 -48
WIRE 112 -48 96 -48
WIRE 144 64 144 48
WIRE 96 80 96 -48
WIRE 112 80 96 80
WIRE 192 96 192 -48
WIRE 192 96 176 96
WIRE 208 96 192 96
WIRE 112 112 96 112
WIRE 96 144 96 112
WIRE 144 144 144 128
WIRE -80 208 -96 208
WIRE 0 208 -16 208
WIRE 112 208 80 208
WIRE 128 208 112 208
WIRE 32 272 -16 272
WIRE 160 320 160 304
WIRE 112 336 112 208
WIRE 128 336 112 336
WIRE 208 352 208 208
WIRE 208 352 192 352
WIRE 224 352 208 352
WIRE 32 368 32 352
WIRE 128 368 32 368
WIRE 160 400 160 384
WIRE 32 464 32 448
FLAG -32 -48 Ve
IOPIN -32 -48 In
FLAG 208 96 Va1
IOPIN 208 96 Out
FLAG 96 144 0
FLAG 144 48 VDD
FLAG 144 144 0
FLAG -96 208 Ve
IOPIN -96 208 In
FLAG 224 352 Va2
IOPIN 224 352 Out
FLAG 160 304 VDD
FLAG 160 400 0
FLAG -16 272 VDD
FLAG 32 464 0
SYMBOL res 208 -64 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 50 61 VBottom 2
SYMATTR InstName R
SYMATTR Value 10k
SYMBOL res 80 -64 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 64 57 VBottom 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 1k
SYMBOL OpAmpModelUni 160 128 R0
WINDOW 0 4 -46 Bottom 2
SYMATTR InstName X1
SYMBOL res 224 192 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 50 61 VBottom 2
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 100k
SYMBOL res 96 192 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 64 57 VBottom 2
SYMATTR InstName R3
SYMATTR Value 10k
SYMBOL OpAmpModelUni 176 384 R0
WINDOW 0 4 -46 Bottom 2
SYMATTR InstName X2
SYMBOL res 16 352 R0
SYMATTR InstName R4
SYMATTR Value 100k
SYMBOL res 16 256 R0
SYMATTR InstName R5
SYMATTR Value 100k
SYMBOL cap -16 192 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 10�
TEXT -136 -112 Left 2 !VE VE 0 SINE(0 100m 10k) AC 1
TEXT -136 32 Left 2 !;ac dec 10 0.1 1000k
TEXT -120 72 Left 2 !VDD VDD 0 DC 5
TEXT -56 120 Left 2 !.tran 0.5m

Aufgabe Frequenzgang

Gegeben sei folgende Operationsverstärkerschaltung.
Bestimmen Sie die Gleichspannungsverstärkung. (2 Punkte)
Bestimmen Sie den Eingangswiderstand. (1 Punkt)
Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion. (2 Punkte)
Bestimmen Sie die 3dB Eckfrequenz(en). (2 Punkte)

$\frac{U_{out}}{U_{in}} = \frac{R_1 + R_2}{R_1} = \frac{112k + 8k}{8k} = 15$

$A_V = 20 log 15 dB = 23.5 dB$

$R_e = \infty$

$\frac{\underline{U}_{out}}{\underline{U}_{in}} = \frac{R_1 + \frac{R_2}{1 + j \omega C R_2}}{R_1} = 1 + \frac{R_2}{R_1} \frac{1}{1 + j \omega C R_2}$

$= \frac{R_2}{R_1} \frac{\frac{R_1}{R_2} \left( 1 + j \omega C R_2 \right) + 1 }{1 + j \omega C R_2} = \frac{R_2}{R_1} \frac{ 1 + \frac{R_1}{R_2} + j \omega C R_1 }{1 + j \omega C R_2}$

$f_1 = \frac{\omega_1}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi C R_2} = 1.42 kHz$

$f_2 = \frac{ 1 + \frac{R_1}{R_2} }{2 \pi C R_1} = 21 kHz$

WS201105.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 160 112 112 112
WIRE 272 128 224 128
WIRE 368 128 272 128
WIRE 416 128 368 128
WIRE 160 144 128 144
WIRE 368 144 368 128
WIRE 128 208 128 144
WIRE 272 208 128 208
WIRE 368 208 272 208
WIRE 272 240 272 208
WIRE 272 336 272 320
FLAG 272 336 0
FLAG 112 112 Vin
FLAG 416 128 Vout
SYMBOL Opamps\\opamp 192 192 M180
SYMATTR InstName U1
SYMBOL res 256 224 R0
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 8k
SYMBOL res 256 112 R0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 112k
SYMBOL cap 352 144 R0
WINDOW 0 29 11 Left 2
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 1n
TEXT 72 80 Left 2 !.include opamp.sub
TEXT 64 48 Left 2 !.ac dec 10 1 100k
TEXT 56 8 Left 2 !VIN VIN 0 SIN(0 1 1.42k) AC 1
TEXT 312 48 Left 2 !;tran 10m

Es liegt eine negative Rückkopplung vor. Ein Teil des Ausgangssignals wird am negativen Eingang des Operationsverstärkers angelegt.
Die Differenzspannung am Eingang ist näherungsweise Null.
Am Widerstand R1 liegt die Spannung U_in.
Nun wird die Spannungsteilerformel angewendet.
Für eine reine Gleichspannungsbetrachtung wird die Kapazität weggelassen und durch eine Unterbrechung ersetzt.
Die AC Simulation mit LTSPICE bestätigt das Ergebnis der Rechnung.

Nächstes Mal:

20 Operationsverstärkerschaltungen

2020 19 Anwendung Operationsverstärker Elektronik Prof. Dr. Joerg Vollrath

Elektronik

19 Anwendung Operationsverstärker

Prof. Dr. Jörg Vollrath

Video der 19. Vorlesung 14.12.2020

Rückblick und Heute

Operationsverstärker

Hochpass, Differenzierer

Hochpass, Differenzierer

Integrator

Integrator

Operationsverstärker mit unipolarer/ positiver Versorgungsspannung

Aufgabe Frequenzgang

Nächstes Mal: