Am Oszilloskopbild kann man das Rauschen durch zufällige Werte um einen Mittelwert herum sehen.
Es gibt einen Mittelwert und einen Effektivwert (RMS: root mean square).
\( U_{RMS} = \sqrt{U_{DC}^2 + U_{noise}^2} \)
Bei dieser Darstellung treten nur diskrete Spannungswerte mit einer Schrittweite
von ca. 1 mV auf. Diese Auflösung wird von der Auflösung des Analog-Digitalwandlers vorgegeben.
Man kann das Signal mit einer FFT in den Frequenzbereich übertragen.
Eingangsbezogenes Rauschen
Messung am Ausgang
Wie überlagert sich das Rauschen dem Quellsignal?
Verstärkung A
Beispiel
An einem Verstärker mit einer Verstärkung von 100 wird ein weißes Rauschspektrum
(konstant über der Frequenz) von Gleichspannung bis 100MHz von
\( 10 \frac{nV}{\sqrt{Hz}} \) gemessen.
Berechnen Sie die Eingangsrauschspannung.
\( U_{onoise}^{2}(f)=(10 \frac{nV}{\sqrt{Hz}})^2 = 100 \cdot 10^{-18} \frac{V^2}{Hz} \)
Berechnung des Effektivwertes am Ausgang mit Hilfe der Bandbreite:
\( U_{onoise,rms} = \sqrt{\int_{0}^{100MHz} 100 \cdot 10^{-18} df } V = 100 \mu V \)
Transfer mit der Verstärkung zum Eingang:
\( U_{inoise,rms} = \frac{U_{onoise,rms}}{A} = 1 \mu V \)
Wie groß ist die Spitze-Spitze-Spannung (peak-to-peak)?
Multipliziere den Effektivwert mit 6.6
\( U_{onoisepp} = 6.6 \cdot 100 \mu V = 660 \mu V \)
Widerstandsrauschen
Statistische Stromschwankung durch thermische Bewegung der Ladungsträger.
Rauschstrom
Rauschspannung
Ersatzspannungsquelle
Ersatzstromquelle
Addition von Quellen:
\( U_{r} = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} U_{ri}^{2}} \)
\( U_{rR}^2 (f) = 4 k T R \)
\( U_{rR,rms}^2 = \int U_{rR}^2 (f) df = 4 k T R \Delta f \)
\( U_{rR,rms} = \sqrt{4 k T R \Delta f} \)
\( I_{rR,rms} = \sqrt{\frac{4 k T \Delta f}{R}} \)
Beispiel: Δ f = 100 MHz
k = 13.8 · 10 -24 J/K
T = 300 K
Kann man die Eigenschaften von weissen Rauschen
mit einer Simulation bestätigen?
JavaScript
1. Versuch
Zufallszahlen erzeugt mit Math.random() 0..1
Erzeugung der FFT und des Histogramms
2. Versuch
Erzeugung der FFT mit zufälliger Phase
Erzeugung der Zeitdaten und des Histogramms.
Gaussverteilung, Vpp = 6.6 Vrms (Cresting factor, Scheitelfaktor)
Spektrum und Noise Density
Ein Spektrum verteilt den Effektivwert auf NFFT einzelne Frequnezen.
Ein Spektrum normiert die Spectral Density mit 1 Hz.
Ae = 20 log(en)
Effektivwert vom Spektrum:
Ae + 20 * log(NFFT/2)
Widerstandsrauschen
\( U_{nR} = \sqrt{4 k T R BW} \)
\( BW = \frac{\pi}{2} f_{3dB} \)
Es wird die Bandbreite BW eines Tiefpasses \( \frac{\pi}{2} \)
zu Grunde gelegt.
Ein Widerstand von 1 MOhm hat bei einer Bandbreite von 100 Hz eine
Rauschspannung größer 1 uV.
Beispiel ohmsche Widerstände
Berechnen Sie die effektive eingangs- und ausgangsbezogene Rauschspannung
im Bereich bis 1kHz.
Das Rauschen eines Operationsverstärkers kann durch eine weisse Rauschstromquelle ieop
und eine weisse Rauschspannungsquelle veop modelliert werden.
Die Beschaltung mit Widerständen enthält zusätzliche Rauschquellen.
Für jede Quelle wird die Ausgangsrauschspannung für eine gegebene Bandbreite mit der
Übertragungsfunktion bestimmt
Die Spannungsquellen werden zusammengefasst.
Wurzel der Summe der Quadrate
Berechnung Rauschen einer Opamp Schaltung
Berechnen Sie den Effektivwert der äquivalenten Rauschspannung am Ausgang.
T = 80 C
R1 = 4kΩ
R2 = 1kΩ
veop = 3 nV/\( \sqrt{Hz} \)
ieop = 30 fA/\( \sqrt{Hz} \)
GBW = 10 MHz
Berechnen Sie den Beitrag der einzelnen Rauschquellen am Ausgang.
Wie groß ist die äquivalente Ausgangsspannungsquelle?
Welchen peak to peak Wert der Ausgangsrauschspannung erwarten Sie?
Wie groß ist die äquivalente Eingangsrauschspannungsquelle?
Berechnung Rauschen einer Opamp Schaltung
Berechnen Sie den Effektivwert der äquivalenten Rauschspannung am Ausgang.
T = 80 C
R1 = 4kΩ
R2 = 1kΩ
veop = 3 nV/\( \sqrt{Hz} \)
ieop = 30 fA/\( \sqrt{Hz} \)
GBW = 10 MHz
Berechnen Sie den Beitrag der einzelnen Rauschquellen am Ausgang.
Wie groß ist die äquivalente Ausgangsspannungsquelle?
Welchen peak to peak Wert der Ausgangsrauschspannung erwarten Sie?
Wie groß ist die äquivalente Eingangsrauschspannungsquelle?
Für die Berechnung des Effektivwertes der äquivalenten Rauschspannung benötigt man die Bandbreite.
GBW = 10 MHz
Verstärkung des Operationsverstärkers: \( v_u = \frac{v_a}{v_e} = \frac{R_1 + R_2}{R_2} = 5 \)
Grenzfrequenz des Operationsverstärkers: \( f_g = \frac{GBW}{v_u} = 2 MHz \)
Bandbreite für die Rauschspannung (RC-Glied): \( f_{BW} = \frac{\pi}{2} f_g = 3.14 MHz \)
Berechnung der Effektivwerte der Rauschspannungs- und Stromquellen:
\( v_{eoprms} = v_{eop} \cdot \sqrt{f_{BW}} = 5.3 \mu V \)
\( i_{eoprms} = i_{eop} \cdot \sqrt{f_{BW}} = 53 pA \)
\( v_{R1rms} = \sqrt{4 k T R_1 f_{BW}} = 14.4 \mu V \)
\( v_{R2rms} = \sqrt{4 k T R_2 f_{BW}} = 7.2 \mu V \)
