Hochschule Kempten      
Fakultät Elektrotechnik      
Elektronik       Fachgebiet Elektronik, Prof. Vollrath      

Elektronik

03 spezifischer Widerstand

Prof. Dr. Jörg Vollrath




02 Das ohmsche Gesetz      


Übersicht, Lernziele


Ein ohmscher Widerstand wird durch das verwendete Material und die Geometrie bestimmt.
Der Widerstand ändert sich meist mit der Temperatur.

Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit

  • Der spezifische Widerstand ist eine temperaturabhängige Materialkonstante
    • \( \rho \) (Rho)
  • Der Widerstand ist proportional zur Länge und umgekehrt proportional zum Querschnitt
    • \( R=\frac{\rho l}{A} \)
    \( \left[\rho\right]=\Omega \frac{m^2}{m} = \Omega m \) (Rho)
  • Kehrwert des spezifischen Widerstandes: Leitfähigkeit
    • \( \kappa = \frac{1}{\rho} = \sigma \) (Kappa, Sigma)
    \( \left[\kappa\right]= \frac{1}{\Omega m} = \frac{S}{m} \frac{A}{V m} \)

Ein Widerstand ergibt sich aus einem leitendem Material mit einem Querschnitt A und einer Länge l.
Jedes Material hat einen spezifischen Widerstand.
In der Elektrotechnik wird Kohlenstoff oder Kupfer, Aluminium als Leiter und Widerstand eingesetzt.

Praxisbezug Widerstand

  • Integrierte Schaltungen verwenden auch Polysiliziumwiderstände.
  • Die Schichtdicke und der spezifische Widerstand ist vorgegeben.
  • Die Weite und Länge der Struktur wird gezeichnet und bestimmt den Gesamtwiderstand.

  • Die Temperaturabhängigkeit und mechanische Spannungsabhängigkeit des Widerstands ermöglicht Sensoranwendungen
Das obere Bild zeigt eine Mikroskopaufnahme eines integrierten Widerstandes. In der Mitte ist eine horizontale dotierte Widerstandsbahn zu sehen, die rechts und links an Metallbahnen angeschlossen ist. Im unteren Bild ist diese Struktur mit einer Weite W und einer Länge L schematisch in einer 3D Ansicht zu sehen.

Tabelle spezifischer Widerstand bei 20 °C


Material Spezifischer Widerstand
/ Ω m 		Temperaturkoeffizient
α20 / K-1
Aluminium (Al)0.0278 · 10 -6 3.9 · 10 -3
Eisen (Fe)0.1..0.15 · 10 -6 5.6 · 10 -3
Kupfer (Cu)0.0176 · 10 -6 3.9 · 10 -3
Konstantan0.5 · 10 -6 5 · 10 -5
Silizium (Si)2.3 · 10 3 -75 · 10 -3

\( X(T) = X(T_{0}) \left(1 + \alpha (T - T_{0}) \right) \)

T0 Bezugstemperatur
α Temperaturkoeffizient
Quelle:??
Eine temperaturabhängige Größe wird näherungsweise durch ein lineares Modell beschrieben.

Beispiel: Widerstandsberechnung



Bestimmen Sie den Widerstand eines 1 m langen Kupferdrahtes mit einem Durchmesser von 1 mm bei Raumtemperatur.
Wie groß ist der Spannungsabfall an diesem Widerstand, wenn ein Strom von 100 mA fliesst?

Beispiel: Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes



Wie ändert sich der Widerstand eines 1 m langen Kupferdrahtes mit einem Durchmesser von 1 mm, wenn sich die Temperatur von 22°C (Raumtemperatur) auf 80°C ändert?.
Wie ändert sich der Spannungsabfall an diesem Widerstand, wenn ein Strom von 100 mA fliesst?

Beispiel: Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes



Erwärmt man einen Leiter von T1 = 20 °C auf T2 = 60 °C, so nimmt sein Widerstand um p = 0.62% zu. Wie groß ist der Temperaturkoeffizient α20 des Leitermaterials?

Widerstände



Bauform
Farbkennzeichnung
Markierung
Toleranz und Temperatur
Praxisbezug Strombegrenzung an einer Diode

Verstellbare Widerstände: Potentiometer



  • 3 Anschlüsse
    1,2, 3
  • Je nach Stellung kann man am Mittelabgriff einen Teil des Widerstandes abgreifen
    R13=Rmax
    R12 = (1-k) · Rmax
    R23 = k · Rmax
    k Position des Welle 0..1

Beispiel Messung des spezifischen Widerstands



  • 6 Drahtstücke in Reihe jeweils 15 cm lang
  • 0.8 mm Durchmesser
  • VP+ = 0.5 V
  • Messwiderstand: Rmess = 5 Ohm
  • Direkte Strommessung IVP+ = 80 mA
  • Oszilloskop: \( I = \frac{VP+ - U(C1)}{Rmess} = \frac{0.408 V}{5 Ohm} = 81 mA \)
  • \( R_{Draht} = \frac{0.092 V}{0.08 A} = 1.15 \Omega \)
  • Querschnittsfläche:
    \( A = \pi r^2 = \pi (0.4mm)^2 = 0.5 mm^2 \)
  • spezifischer Widerstand:
    \( \rho = \frac{R_{Draht} A}{l} = \frac{1.15 \Omega 0.5 mm^2}{0.9 m} = 0.64 10^{-6} \Omega m \)

Für die Messung wählt man eine geeignete Drahtlänge l, einen Durchmesser d für einen Querschnitt A und einen geeigneten Messstrom.
Man verwendet einen sehr kleinen Querschnitt und eine grosse Drahtlänge.
Damit sich der Draht nicht erwärmt, sollte der Strom durch den Leiter klein sein. Durch die grosse Länge ergibt sich selbst bei kleinen spezifischen Widerständen ein messbarer Spannungsabfall.
Damit der Versuchsaufbau nicht zu gross wird, werden die Lüsterklemmen zur Verbindung genommen. Man misst eine Kombination aus Drahtwiderstand und Klemmenwiderstand.

LEIFI Physik Bestimmung des spezifischen Widerstandes

Zusammenfassung




Nächste Vorlesung:


04 Reihen und Parallelschaltung