Übersicht, Lernziele
Ziel:Ersatzwiderstände, Spannungen und Ströme von Reihenschaltungen und Parallelschaltungen bestimmen. |
Reihenschaltung
Gesucht sind Ströme, Spannungen und Ersatzwiderstand der Schaltung
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Beispiel Reihenschaltung
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U = 2 V, R1 = 2.2 kΩ, R2 = 4.7 kΩ Gesucht sind Ströme, Spannungen und Ersatzwiderstand der Schaltung
Addition von Spannungen und ohmsches Gesetz:
\( U = U_1 + U_2 = I \cdot R_1 + I \cdot R_2 = I \cdot \left( R_1 + R_2 \right) = I \cdot R \) \( R = R_1 + R_2 = 2.2 k\Omega + 4.7 k\Omega = 6.9 k\Omega \)br> \( I = \frac{U}{R_1 + R_2} = \frac{2 V}{2.2 k\Omega + 4.7 k\Omega} = 290 \mu A \) \( U_1 = U \frac{R_1}{R} = 2 V \frac{2.2 k\Omega}{6.9 k\Omega} = 0.64 V \) \( U_2 = U \frac{R_2}{R} = 2 V \frac{4.7 k\Omega}{6.9 k\Omega} = 1.36 V \) |
Parallelschaltung
Gesucht sind Ströme, Spannungen und Ersatzwiderstand der Schaltung
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Beispiel Parallelschaltung
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U = 5 V, R1 = 2.2 kΩ, R2 = 4.7 kΩ Gesucht sind Ströme, Spannungen und Ersatzwiderstand der Schaltung
Addition von Strömen und ohmsches Gesetz:
\( I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{ 5 V }{2.2 k\Omega} = 2.27 mA \) \( I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{ 5 V }{4.7 k\Omega} = 1.06 mA \) \( I = I_1 + I_2 = 3.33 mA\) \( I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} = \frac{U \left( R_1 + R_2 \right)}{R_1 \cdot R_2} = \frac{U }{\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}} = \frac{U }{\frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}} \) \( R = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} = 1.50 k\Omega\) |
Ersatzwiderstand, Spannungsteiler, Stromteiler
SpannungsteilerDer gleiche Strom fliesst durch beide Widerstände. \( I = \frac{U_1}{R_1} = \frac{U_2}{R_2} = \frac{U}{R_1+R_2} \) \( U = U_1 + U_2 \) \( U_1 = U \frac{R_1}{R_1+R_2}\) \( R = R_1 + R_2 \) Spannungsteiler, Wikipedia |
StromteilerDie gleiche Spannung liegt an beiden Widerständen. \( U = I_1 \cdot R_1 = I_2 \cdot R_2 = I \cdot \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}\) \( I = I_1 + I_2 \) \( I_1 = I \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} \frac{1}{R_1} \) \( R =\frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}\) Stromteiler, Wikipedia |
Ersatzwiderstand des Spannungsteilers
\( R = \frac{U}{I} = \frac{U_1 + U_2}{I} = \frac{U_1}{I_1} + \frac{U_2}{I_2} = R_1 + R_2 \)
Ersatzwiderstand des Stromteilers
\( R = \frac{U}{I} = \frac{U}{I_1 + I_2} = \frac{1}{\frac{I_1}{U} + \frac{I_2}{U}} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} \)
\( R = \frac{U}{I} = \frac{U_1 + U_2}{I} = \frac{U_1}{I_1} + \frac{U_2}{I_2} = R_1 + R_2 \)
Ersatzwiderstand des Stromteilers
\( R = \frac{U}{I} = \frac{U}{I_1 + I_2} = \frac{1}{\frac{I_1}{U} + \frac{I_2}{U}} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} \)
Kirchhoffsche Regeln
- Die Summe der Ströme an einem Knoten ist Null.
Ein Knoten ist die Verbindung von Leitungen zwischen mehereren Bauteilen.
\( \sum I_i = 0 \)
- Die Summe der Spannungen für einen Maschenumlauf ist Null
Eine Masche ist ein über Bauteile, Leitungen geschlossener Umlauf in einem Schaltkreis.
\( \sum U_i = 0 \)
Knoten
In Schaltplänen sind Bauteile mit idealen Leitungen (R=0) verbunden. Die Verbindung zwischen 2 ode rmehreren Bauteilen wird als Knoten bezeichnet.
Der Knoten hat ein Potenzial, eine Spannung in Bezug zu Masse, GND 0 V.
Zur Identifizierung eines Knotens gibt man ihm einen aussagekräftigen Namen.
Es gibt das Knotenpotenzialverfahren, dass zur manuellen und computergestützten (SPICE) Berechnungen von Spannungen und Strömen verwendet wird.
Maschen
Einen geschlossenen Weg entlang der idealen Leitungen und Bauteile eines Schaltplans bezeichnet man als Masche.
Es gibt die Maschenanalyse als Verfahren zur Berechnung von Spannungen und Strömen.
Netzwerkanalyse
Beispiel: Gemischte Schaltung
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U = 5 V, R1 = 2.2 kΩ, R3 = 4.7 kΩ
, R1 = 100 Ω, R4 = 100 Ω Gesucht sind Ströme, Spannungen und Ersatzwiderstand der Schaltung
Addition von Strömen und ohmsches Gesetz:
\( I_1 = \frac{U}{R_1 + R_2} = \frac{ 5 V }{2.3 k\Omega} = 2.17 mA \) \( I_2 = \frac{U}{R_3 + R_4} = \frac{ 5 V }{4.8 k\Omega} = 1.04 mA \) \( I = I_1 + I_2 = 3.21 mA\) \( U_2 = I_1 \cdot R_2 = 0.217 V\) \( U_4 = I_3 \cdot R_4 = 0.104 V\) \( R = \frac{U}{I} = \frac{U}{\frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} = 1.55 k\Omega \) |
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Um Ströme zu messen werden Messwiderstände von 100 Ω verwendet. Diese Schaltung kann man auch aufbauen und mit einem Multimeter messen. Die Messwiderstände verändern Spannungen und Ströme der Schaltung. |
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