Heute
- Berechnung der Verstärkung oder der Hysterese und des Eingangswiderstandes von beschalteten Operationsverstärkern
- Eine Stromquelle am Eingang
Differenzverstärker
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Es ist folgende Operationsverstärkerschaltung mit den Eingängen Ve1 und Ve2
und dem Ausgang Va gegeben.
R1 = 100 kΩ, R2 = 100 kΩ, RN = 100 kΩ, RP = 100kΩ Berechnen Sie Va in Abhängigkeit von Ve1 und Ve2. Verwenden Sie dazu die Hilfsspannung Vx. |
Spannung am Operationsverstärker Vx
\( V_x = V_{e2} \frac{R_P}{R_2 + R_P} \)
\( \frac{V_{e1} - V_x }{R_1} = \frac{ V_x - V_{a}}{R_N} \)
\( V_{e1} - V_x = \left( V_x - V_{a} \right) \frac{R_1}{R_N} \)
\( V_x \left( 1 + \frac{R_1}{R_N} \right) = V_{e1} + V_a \frac{R_1}{R_N} \)
\( V_{e2} \frac{R_P}{R_2 + R_P} \left( 1 + \frac{R_1}{R_N} \right) = V_{e1} + V_a \frac{R_1}{R_N} \)
R = R1 = R2 = RP = RN
\( V_{e2} = V_{e1} + V_a \)
\( V_{a} = V_{e2} - V_{e1} \)
2.1 Operationsverstärker
Gegeben ist folgende Schaltung mit R1 = 100 kΩ ,
R2 = 22 kΩ und UB = ± 10V mit folgendem
Eingangsspannungsverlauf Vin(t).
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Der Operationsverstärker arbeitet in Gegenkopplung.
Es ist ein nicht invertierender Verstärker.
Die Ausgangsspannung wird von der Betriebsspannung begrenzt.
Vout0max = 10 V, Voutmin = -10 V
Die Verstärkung ist:
\( v = \frac{d v_{out0}}{d v_{in}} = \frac{I \cdot (R_1+R_2)}{I \cdot R_1} = \frac{R_1+R_2}{R_1} = 5.5 \)
2.2 Operationsverstärker
Gegeben ist folgende Schaltung mit R3 = 100 kΩ ,
R4 = 22 kΩ und UB = ± 10V mit folgendem
Eingangsspannungsverlauf Vin(t).
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Der Operationsverstärker arbeitet in Mitkopplung.
Es handelt sich um einen invertierenden Komparator mit Hysterese, Schmitt Trigger
Die Ausgangsspannung wird von der Betriebsspannung begrenzt.
Vout0max = 10 V, Voutmin = -10 V
Die Schaltschwellen sind:
\( U_{R1} = \frac{R_1}{R_1 + R_2} U_B = 1.8 V \)
\( U_{R1} = \frac{R_1}{R_1 + R_2} - U_B = - 1.8 V \)
Die Hysterese ist:
\( U_{H} = \frac{2 \cdot R_1}{R_1 + R_2} U_B = 3.6 V \)
2.3 Operationsverstärker
Gegeben ist folgende Schaltung mit R7 = 100 kΩ ,
R8 = 22 kΩ und UB = ± 10V mit folgendem
Eingangsspannungsverlauf Vin(t).
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Der Operationsverstärker arbeitet in Mitkopplung.
Es handelt sich um einen nicht invertierenden Komparator mit Hysterese, Schmitt Trigger
Die Ausgangsspannung wird von der Betriebsspannung begrenzt.
Vout0max = 10 V, Voutmin = -10 V
Die Schaltschwellen sind:
\( \frac{V_{in}}{R_8} = - \frac{V_{out}}{R_7} \)
\( V_{in} = - \frac{R_8}{R_7} U_{B} = - 2.2 V \)
\( V_{in} = - \frac{R_8}{R_7} - U_{B} = 2.2 V \)
Die Hysterese ist:
\( U_{H} = \frac{2 \cdot R_8}{R_7} U_B = 4.4 V \)
2.4 Operationsverstärker (10 Punkte)
Gegeben ist folgende Schaltung mit R5 = 100 kΩ ,
R6 = 22 kΩ und UB = ± 10V mit folgendem
Eingangsspannungsverlauf Vin(t).
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(1) Der Operationsverstärker arbeitet in Gegenkopplung.
(2) Es ist ein invertierender Verstärker.
(1) Die Ausgangsspannung wird von der Betriebsspannung begrenzt.
(1) Vout0max = 10 V, Voutmin = -10 V
Die Verstärkung ist:
(2) \( v = \frac{d v_{out2}}{d v_{in}} = \frac{I \cdot R_5}{ -I \cdot R_6} = -\frac{R_5}{R_6} = 4.5 \)
(1) Obere und untere Begrezung muss zu sehen sein.
(1) Die Verstärkung v = 4.5 muss zu sehen sein.
(1) Das invertierende Verhalten muss dargestellt sein.
3.1 Spannungsverlauf einer Diode
Eine Wechselspannung mit \( \underline{U} = 230 V \) ist über eine ideale Diode
mit einem Widerstand \( R_L = 100 \Omega \) verbunden.
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\( I = \frac{U}{R} \)
\( \underline{U} = U_{eff} + j 0 V \)
\( \hat{u} = \sqrt{2} * U_{rms} = \sqrt{2} * U_{eff} = \sqrt{2} * 230 V = 325 V \)
\( \hat{i} = \frac{\hat{u}}{R} = \frac{325 V}{100 \Omega} = 3.25 A \)
Abschnittsweise definition des Diodenstroms:
\( 0 \le \omega t \le \pi \) \( i_{D} (t) = \hat{i} sin \omega t \)
\( \pi \le \omega t \le 2 \pi \) \( i_{D} (t) = 0 \)
\( 2 \pi \le \omega t \le 3 \pi \) \( i_{D} (t) = \hat{i} sin \omega t \)
Mittelwert des Stromes:
\( i_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T i(t) dt = \frac{1}{T} \int_0^T \hat{i} sin \omega t dt \)
mit ω t von 0 bis 2 π
\( i_{avg} = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} i(\omega t) d\omega t = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{\pi} \hat{i} sin \omega t d \omega t \)
\( i_{avg} = \frac{\hat{i}}{2 \pi} \left[ - cos \omega t \right]_0^{\pi} = \frac{\hat{i}}{2 \pi} \left[ - cos \pi + cos 0 \right] = \frac{\hat{i}}{2 \pi} \left[ 1 + 1 \right] = \frac{\hat{i}}{ \pi} = 1.03 A \)
Effektivwert:
Die Periodendauer ist T = 2 π. Der Sinus wird nur von 0 bis π integriert, da der Strom sonst Null ist.
\( i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2 \pi} \int_0^{\pi} \left( \hat{i} sin\omega t\right)^2 d \omega t} \)
3.2 Diodenkennlinie
Sie messen an einer Diode folgende Werte. R1 = 33 Ω
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Die zweite Spalte der Tabelle enthält die Diodenspannung für die x-Achse.
Die dritte Spalte der Tabelle enthält den Diodenstrom für die y-Achse.
Für die Linearisierung legt man eine Gerade durch die letzten 2 Werte der Tabelle.
Für die Linearisierung ergibt sich die Geradengleichung:
\( I_{Dlin} = m \left(U_{D} - U_{D0}\right) \)
Man bestimmt Steigung und Schnittpunkt mit der x-Achse.
Steigung:
\( m = \frac{dy}{dx} = \frac{d I_D}{d U_D} = \frac{61 - 35}{0.832-0.814 } \frac{mA}{V} = 1.44 S = \frac{1}{0.69 \Omega} = \frac{1}{r_D} \)
Durch Einsetzen eines Punktes (vorletzter Punkt der Tabelle):
\( I_{Dlin} = m \left(U_{D} - U_{D0}\right) \)
\( U_{D0} = U_{D} - \frac{I_{Dlin}}{m} = 0.814 V - \frac{35 mA}{ 1.44 S} = 0.79 V \)
Die Verlustleistung bei einer Gleichspannung ist gegeben durch:
P = U I
Mit der Linearisierung wird der Strom bei 0.8 V bestimmt:
\( I_{Dlin} = m \left(U_{D} - U_{D0}\right) = 1.44 S (0.8 V - 0.79 V) = 14.4 mA\)
P = 0.8 V * 14.4 mA = 11.6 mW
3.3 Diodenkennlinie
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Gegeben ist folgende Schaltung mit der zeitabhängigen Spannung v1(t). R1 = 10 Ω
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Periodendauer: T = 20 s
Peak to peak voltage v1pp = 200 V
Amplitude: v1 = 100 V
Spannungsmittelwert:
(1) \( v1_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^{T} v1(t) dt = \frac{1}{T} \left( \int_0^{T/2} v1(t) dt + \int_{T/2}^{3T/4} v1(t) dt \right) = \frac{1}{T} \left( 100 V \frac{T}{2} + (-100 V) \frac{T}{4} \right) = \frac{T }{4 T} 100 V = 25 V \)
Spannungseffektivwert:
(1) \( V1_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^{T} v1(t)^2 dt } \)
(2) \( V1_{rms} = 100V \sqrt{\frac{1}{T} \frac{3}{4} T } = 100 \frac{\sqrt{3}}{2} V = 86.6 V \)
(1) Stromwert und Achsenbezeichnung
(1) Sperrverhalten bei negativen Spannungen.
Der Strom bei einer leitenden Diode wird durch den Widerstand R_1 begrenzt:
(1) \( I = \frac{U}{R_1} = \frac{100 V}{10 \Omega } = 10 A \)
Stromberechnung:
(2) \( I_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T i(t) dt = \frac{1}{2} 10 A = 5 A \)
(2) \( I_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i(t)^2 dt} = \frac{1}{\sqrt{2}} 10 A = 7.07 A \)
3.4 Diodenkennlinie
Für die reale Diode ist folgende Kennlinie gegeben:
- Beschreiben Sie das Durchlassverhalten der Diode in Näherung durch Linearisierung mit UD0 und rD0
- Berechnen Sie die Leistung an der Diode.
Linearisierung:
(2) Aus dem Diagramm werden die letzten 2 Punkte abgeschätzt:
| UD/V | ID/mA |
| 1 | 40 |
| 1.1 | 60 |
Daraus wird die Steigung bestimmt:
(1) \( m = \frac{dy}{dx} = \frac{dI_d}{dU_D} = \frac{20 mA}{0.1 V} = 200 mS = g_{D0} \)
\( I_D = m ( U_D - U_{D0}) \)
(1) \( U_{D0} = U_D - \frac{I_D}{m} = 1.1 V - \frac{60 mA}{200 mS} = 0.8 V \)
(1) \( r_{D0} = \frac{1}{m} = 5 \Omega \)
Leistung:
(1) 0 < t < T/2 \( P = U \cdot I = 0.8 V \cdot 10 A = 8 W \)
(1) T/2 < t < T P = 0 W
(3) \( P_{avg} = \frac{U \cdot I}{2} = \frac{0.8 V \cdot 10 A}{2} = 4 W \)
3.5 Diodenkennlinie
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Gegeben ist folgende Schaltung mit der zeitabhängigen Spannung u(t). uE(t) = 100 V sin ω t RL = 10 Ω
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Leistung:
\( P = \frac{U_{rms}^{2}}{R} = \left( \frac{U_e}{\sqrt{2}}\right)^{2} \frac{1}{R} = \left(\frac{100 V}{\sqrt{2}}\right)^{2} \frac{1}{10 \Omega} = 500 W\)
Pe = PR
ideale Bauelemente, kein Wirkleistungsverlust an den Dioden.
Lernziel
- Sie kennen die Kennlinien und Parameter folgender Bauteile:
- Widerstand R
- Diode Is, n, Rs
- MOSFET β, Vth, λ
- Operationsverstärker vu, Umax, Umin, Uoffset
- Sie können den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom an diesen Bauteilen herstellen und aus U, I Messwerten diese Parameter bestimmen.
- Sie können Spannungen und Ströme für Schaltungen näherungsweise bestimmen.
- Sie können für eine Operationsverstärkerschaltung Uout(Uin) berechnen.
- Sie können für einfache Spannungsverläufe Frequenz, Periodendauer, Mittelwert und Effektivwert berechnen
Zusammenfassung und nächste Vorlesung
- Man zeichnet alle Spannungen und Ströme ein.
- Man bildet die Knotengleichungen und setzt das ohmsche Gesetz ein.
- Der Strom am Eingang des Operationsverstärkers ist Null.
- Es gibt nur eine begrenzte Anzahl von Grundschaltungen.
- Man kann die Widerstandsbezeichnungen, Werte und die Zeichnung variieren.
- Liegt Mitkoppelung oder Gegenkoppelung vor?
- Bei der Gegenkoppelung ist die Spannungsdifferenz am Eingang des Operationsverstärkers näherungsweise Null.
- Bei der Mitkoppelung ist die Ausgangsspannung diurch die Versorgungsspannung begrenzt.
22 Schaltungen mit MOSFETs und Operationsverstärkern