Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)03 WechselgrößenGleichwert, EffektivwertProf. Dr. Jörg Vollrath02 Gleichwert und Effektivwert GET 2 |
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Test 03 Geradengleichung, Test 04 Wechselgrößen
Video GET2 02 Wechselgrößen kompakt
Video der 19. Vorlesung 8.6.2021
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Länge: 1:22:04 |
0:0:0 Evaluierung 0:0:0 Differenzverstärker 0:2:0 Eingangs und Ausgangswiderstand |
Rückblick und Heute
- Begriffe der Wechselgrößen
- Periodizität, Periodendauer T, Frequenz f
- Maximalwert, Amplitude, Scheitelwert û
- Mittelwerte:
- Gleichwert u: Mittelwert über eine Periode
- Effektivwert U: Leistungsmotiviert
Quadrat der Spannung oder des Stroms
Aufpassen bei der Integration
- Begriffe: Gleichgröße, Wechselgröße, Mischgröße
- Mathematik:
Wie stellt man eine Geradengleichung auf?
y = y0 + a (x - x0) - Wie integriert man?
Abschnittsweise Geradengleichung
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Geradengleichung: y = a x + b Geradengleichung mit 2 Punkten: \( y = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_{1}}\left(x - x_1 \right) + y_1 \)
y = y1 + dy/dx (x-x1)
dy = y2 - y1 dx = x2 - x1 Einsetzen y(x1) y = y1 + dy/dx (x1-x1) = y1 Einsetzen y(x1+dx) y = y1 + dy/dx (x1+dx-x1) y = y1 + dy 2 Punkte: (x1,y1), (x2, y2) (x1,y1) = (4,5), (x2, y2) = (8, 13) Steigung: \( \frac{dy}{dx} = \frac{y2-y1}{x2-x1} = 2 \) Gleichung: \( y = y1 + \frac{dy}{dx} \left( x - x1 \right) \) \( y = 5 + 2 \cdot \left( x - 4 \right) \) |
Verifikation:
x = x1 : \( y(x1) = y1 + \frac{dy}{dx} \left( x1 - x1 \right) = y1 \)
x = x2 : \( y(x2) = y1 + \frac{dy}{dx} \left( x2 - x1 \right) = y1 + y2 - y1 = y2\)
x = x1 : \( y(x1) = y1 + \frac{dy}{dx} \left( x1 - x1 \right) = y1 \)
x = x2 : \( y(x2) = y1 + \frac{dy}{dx} \left( x2 - x1 \right) = y1 + y2 - y1 = y2\)
Integralrechnung (1)
Schritte
- Ausmultiplizieren um Potenzen der Integralvariablen zu haben
\( \int \left( 2 + 4x \right)^2 dx = \int 4 + 16 x + 16 x^2 dx \) - In Summanden zerlegen (Regeln anwenden, um Listen anwenden zu können):
\( \int 4 + 16 x + 16 x^2 dx = \int 4 dx + \int 16 x dx + \int 16 x^2 dx \) - Stammfunktionen mit der Liste bilden
\( \int 4 dx + \int 16 x dx + \int 16 x^2 dx = [ 4 x ] + [ 16 \frac{x^2}{2} ] + [ 16 \frac{x^3}{3} ] \) - Obere Grenze - untere Grenze, Einsetzen
\( [ 4 x ]_{x0}^{x1} + [ 16 \frac{x^2}{2} ]_{x0}^{x1} + [ 16 \frac{x^3}{3} ]_{x0}^{x1} \) \( = 4 (x1 - x0) + 16 \frac{x1^2 - x0^2}{2} + 16 \frac{x1^3 - x0^3}{3} \)
Integralrechnung (2)
Schritte
Listen:
\( \int cos(ax) dx = \frac{1}{a} sin(ax) \)
\( \int sin(ax) dx = - \frac{1}{a} cos(ax) \)
\( \int cos^2 (ax) dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4a} sin(2 a x) \)
\( \int sin^2 (ax) dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4a} sin(2 a x) \)
\( \int a + b x + c x^2 dx = a x + b \frac{x^2}{2} + c \frac{x^3}{3} \)
Regeln:
\( \int a \cdot x dx = a \int x dx \)
\( \int_{x0}^{x1} f(x) dx = \left[ F(x) \right] = F(x1) - F(x0) \)
\( \int_{x0}^{x2} f(x) dx = \int_{x0}^{x1} f(x) dx + \int_{x1}^{x2} f(x) dx \)
Strom- und Spannungsformen
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Kenngrößen
\( Schwingungsgehalt = \frac{Effektivwert des Wechselanteils} {Effektivwert der Mischgröße} \)
\( Effektive Welligkeit = \frac{Effektivwert des Wechselanteils} {Gleichwert der Mischgröße} \)
\( Riffelfaktor = \frac{Scheitelwert des Wechselanteils} {Gleichwert der Mischgröße} \)
\( Formfaktor = \frac{Effektivwert}{Gleichrichtwert} \)
Effektivwert der Mischgröße: Wurzel der Summe der Quadrate der Effektivwerte \( u_{eff} = \sqrt{u_{eff1}^2 + u_{eff2}^2 + .. u_{effn}^2} \)
Beispiel Mischgröße
Berechnen Sie den Gleichwert und den Effektivwert folgender Größe.AbschnittsweiseGeradengleichungIntegralbildung |
Beispiel Mischgröße
Berechnen Sie den Gleichwert und den Effektivwert folgender Größe.10n,3,1,4,0,1,2,-4,1,-2,0,1,0,0
⇒ Wechselgrößen
Electronic Explorer: Mischgroesse.csv 250 kHz, Amplitude: 3V, Offset 1V
Abschnittsweise Geradengleichung
\( u(t) = \cases{ 4 V & \text{ für } \text{0 ns }+ n\cdot T \lt t \lt 10 ns+n\cdot T\cr 2 V -0.4 \frac{V}{ns} \cdot \left( t - 10ns \right) & \text{ für } \text{10 ns }+ n\cdot T \lt t \lt 20 ns+n\cdot T\cr -2 V & \text{ für } \text{20 ns }+ n\cdot T \lt t \lt 30 ns+n\cdot T\cr 0 V & \text{ für } \text{30 ns }+ n\cdot T \lt t \lt 40 ns+n\cdot T\cr } \)
Integralbildung mit verschobenen Grenzen
\( \overline{U} = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} u(t) dt = \frac{1}{T} \left( \int\limits_{0}^{10ns} \left( 4 V \right) dt + \int\limits_{0}^{10ns} \left( 2 V -0.4 \frac{V}{ns} \cdot t \right) dt + \int\limits_{0}^{10ns} \left( -2 V \right) dt + \int\limits_{0}^{10ns} \left( 0 V \right) dt \right) \)
\( U_{eff} = \sqrt{ \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} u^2(t) dt } = \sqrt{ \frac{1}{T} \left( \int\limits_{0}^{10ns} \left( 4 V \right)^2 dt + \int\limits_{0}^{10ns} \left( 2 V -0.4 \frac{V}{ns} \cdot t \right)^2 dt + \int\limits_{0}^{10ns} \left( -2 V \right)^2 dt + \int\limits_{0}^{10ns} \left( 0 V \right)^2 dt \right) } \)
Numerische Integration
Es wird über eine Periode T integriert.Die Periode T wird in n Abschnitte \( \frac{T}{n} \) geteilt.
Nach der Regel:
\( \int\limits_{x0}^{x2} f(x) dx = \int\limits_{x0}^{x1} f(x) dx + \int\limits_{x1}^{x2} f(x) dx \)
mit der Annahme die Funktion sei in einem sehr kleinen Abschnitt \( \frac{T}{n} \) näherungsweise konstant, ergibt sich:
\( \int_{x0}^{x1} f(x) dx = \frac{x_1 - x_0}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} y_i \)
\( \int_{0}^{T} f(t) dt = \frac{T}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} y_i (t_i) \)
Dies Verfahren wird bei Oszilloskopen angewendet. Man kann es auch mit Excel oder einer Programmiersprache (JavaScript) durchführen.
Numerische Lösung zur Ergebnisverifikation
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Gleichwert: 0.55
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4 Abschnitte mit der WENN Funktion.
=WENN(REST(A2;40)<10;4;
WENN(REST(A2;40)<20;2-4/10*(REST(A2;40)-10);
WENN(REST(A2;40)<30;-2;0)))
Zusammenfassung
- Mittelwerte: Gleichwert, Effektivwert
- Beispiel: Rechnung, numerische Integration, Simulation
04 Gleichwert und Effektivwert
Fragen
Wer hat am Mathevorkurs teilgenommen? (11/21)
Wer hat am MINTENSIV teilgenommen? (3/21)
In welchem Format würden Sie ein Fachbuch kaufen?
EBook (6), Papier (17), Beides (2), Keines, Nur Skript (5)
Bei welchem Preis würden Sie ein Fachbuch kaufen?
Unsonst, 5.- (20/21), 10.- (21/21), 20.-(12/21), 50.-(2/21), 100.-
Würden Sie für sich selbst Hardware kaufen?
(Arduino, RaspberryPi, Oszilloskop (14/21 umsonst), Multimeter)?
Ja/Nein
Umsonst (17/21), 30.- (11/21),
Haben Sie ein Arduino board, RaspberryPi, ESP32, Multimeter, FPGA Board gekauft? (11/21)
Bis zu welchem Preis würden Sie ein Allzwecklabor kaufen?
Nur umsonst, 50.-, 100.-, 200.-, 400.-