Rückblick und Übersicht

Ersatzquellen

• Ersatzquelle, U_L, I_K, Z_i
• Umrechnung
• Zeigerdiagram

Leistung im Wechselstromkreis

• Zeitabhängige Leistung
• Mittelwert
• Komplexe Leistung
• Zeigerdiagram

Leistung im Wechselstromkreis

• Wie beschreiben wir die Leistung (power) im Wechselstromkreis? (alternating current circuit)

• Wechselstromkreis im eingeschwungenen Zustand
• Zeitabhängige Leistung und mittlere Leistung (average power)
• Wirkleistung (real power)
• Blindleistung (reactive power)
• Scheinleistung (apparent power)
• Leistungsfaktor (power factor)
• Komplexe Leistung (complex power)

Zeitabhängige Leistung im Wechselstromkreis

• Augenblickswert der Leistung:
• Das Produkt aus Spannung und Strom
• p(t)=u(t) i(t)

• Sinusförmige Schwingung
• \( u(t) = \hat{u} cos(\omega t + \phi) \)
• \( i(t) = \hat{i} cos(\omega t) \)
  mit den Amplituden \( \hat{u}, \hat{i} \) und dem Winkel &phi zwischen Spannung und Strom

• Augenblickswert
• \( p(t) = \hat{u} \hat{i} cos(\omega t + \phi) cos(\omega t) \)

Mittlere Leistung im Wechselstromkreis

• Augenblickswert
• \( p(t) = \hat{u} \hat{i} cos(\omega t + \phi) cos(\omega t) \)
• mit cosαcosβ = 0.5 cos(α + β) + 0.5 cos(α - β)
• α = ω t + φ und β = ω t
• \( p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(2\omega t + \phi) + 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(\phi) \)
• Wechselanteil 2 ω t,   Gleichanteil
• Mittlere Leistung P (Gleichanteil):Wirkleistung
  \( P = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} p(t) dt = \frac{1}{2} \hat{u} \hat{i} cos \phi = U I cos \phi \)
• U, I: Effektivwerte

Graphische Darstellung der Leistung

• \( u(t) = \hat{u} cos(\omega t + \phi) \)
• \( i(t) = \hat{i} cos(\omega t) \)
  mit den Amplituden \( \hat{u}, \hat{i} \) und dem Winkel φ zwischen Spannung und Strom
• \( p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(2\omega t + \phi) + 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(\phi) \)
  Wechselanteil 2 ω t,   Gleichanteil

Leistungszerlegung

• \( p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(2\omega t + \phi) + 0.5 \hat{u} \hat{i} cos \phi \)
• Mit cos(α+β)=cosαcosβ - sinαsinβ
• \( p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} (cos(2\omega t) cos\phi - sin(2\omega t) sin\phi) + 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(\phi) \)
• \( p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos\phi (cos(2\omega t) + 1) - 0.5 \hat{u} \hat{i} sin\phi sin(2\omega t) \)
  Wirkleistungsschwingung           Blindleistungsschwingung

Wirkleistung und Blindleistung

• \( p(t) = \hat{u} \hat{i} cos(\omega t + \phi) cos(\omega t) \)
• \( p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(2\omega t + \phi) + 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(\phi) \)
• \( p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos\phi (cos(2\omega t) + 1) - 0.5 \hat{u} \hat{i} sin\phi sin(2\omega t) \)
  
• \( p(t) = U I cos\phi (cos(2\omega t) + 1) - U I sin\phi sin(2\omega t) \)
  
• U, I: Effektivwerte
• Wirkleistung: U I cosφ     (real power)
• Mittlere Leistung (average power)
• Blindleistung: U I sinφ     (reactive power)

Scheinleistung

• Scheinleistung (apparent power) S
• S = U · I
• Produkte der Effektivwerte und stets positiv
• Einheit: VA (Voltampere)
• Bemessungsleistung von transformatoren
• Scheinleistung für eine passiven Zweipol
• Scheinwiderstand Z: S = Z I²
• Scheinleitwert Y: S = Y U²

Wirkleistung

• Wirkleistung P
• P = S cosφ
• Positives oder negatives Vorzeichen, abhängig von φ
• Verbraucherpfeilsystem
• P > 0 der Zweipol nimmt im Mittel elektrische Energie auf:
  Verbraucher
• P < 0 der Zweipol gibt im mittel elektrische Energie ab
  Erzeuger
• P = 0, cosφ = 0
  Im Mittel wird keine Energie aufgenommen oder abgegeben

Wirkleistung am passiven Zweipol

• P = S cosφ = Z I² cosφ = Y U² cosφ
• Wirkleistung proportional zum Realteil
• R = Z cosφ ergibt P = R I²
• G = Y sinφ ergibt P = G U²
• Quotient aus der Wirkleistung P und der Scheinleistung S
• Leistungsfaktor (power factor) λ (lambda)
• λ = P/S = cosφ
• Einheitlos im Wertebereich 0..1 (angestrebt λ = 1)
• Produkt aus der Wirkleistung P und Zeit t
• Wirkarbeit W
• W = P · t
• Einheit J = W s

Scheinleistung

• \( p(t) = U I cos\phi (cos(2\omega t) + 1) - U I sin\phi sin(2\omega t) \)
• Scheinleistung (apparent power) S
• S = U I
• Einheit VA (Voltampere)
• Produkte der Effektivwerte und stets positiv
• Wirkleistung (real power) P
• P = S cosφ
• Einheit W (Watt)
• positives oder negatives Vorzeichen
• Blindleistung (reactive power) S
• Q = S sinφ
  
• Einheit var (Volt ampere reactive)
• Produkte der Effektivwerte und stets positiv

Komplexe Leistung

Komplexes Symbol, symbolische Methode Wechselanteil der Leistung p(t) = P cos2ωt-Qsin2ωt Winkelgeschwindigkeit 2ω \( \underline{S} = S e^{j\phi} = S \underline{/\phi} = P + j Q \) \( \underline{S} = \underline{U} \underline{I}^{*} \) * konjugiert komplex \( \underline{S} = (\underline{Z} \underline{I}) \underline{I}°{*} = \underline{Z} I^2 = \underline{U} (\underline{Y}\underline{U})^{*} = \underline{Y}^{*} U^{2} \) \( \underline{S} = P + j Q = \underline{U} \underline{I}^{*} = \underline{Z} I^2 = \underline{Y}^{*} U^{2} \)

Leistungsdreieck (power triangle)

Beispiel

Zusammenfassung und nächstes Mal

• Komplexe Leistung
• Scheinleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Leistungsfaktor
• Formelzeichen und Einheiten