Rückblick und Übersicht

Ersatzquellen

• Ersatzquelle, U_L, I_K, Z_i
• Umrechnung
• Zeigerdiagram

Leistung im Wechselstromkreis

• Zeitabhängige Leistung
• Mittelwert
• Komplexe Leistung
• Zeigerdiagram

Leistung im Wechselstromkreis

• Wie beschreiben wir die Leistung (power) im Wechselstromkreis? (alternating current circuit)

• Wechselstromkreis im eingeschwungenen Zustand
• Zeitabhängige Leistung und mittlere Leistung (average power)
• Wirkleistung (real power)
• Blindleistung (reactive power)
• Scheinleistung (apparent power)
• Leistungsfaktor (power factor)
• Komplexe Leistung (complex power)

Zeitabhängige Leistung im Wechselstromkreis

• Augenblickswert der Leistung:
• Das Produkt aus Spannung und Strom
• p(t)=u(t) i(t)

• Sinusförmige Schwingung
• $u(t) = \hat{u} cos(\omega t + \phi)$
• $i(t) = \hat{i} cos(\omega t)$
  mit den Amplituden $\hat{u}, \hat{i}$ und dem Winkel φ zwischen Spannung und Strom

• Augenblickswert
• $p(t) = \hat{u} \hat{i} cos(\omega t + \phi) cos(\omega t)$

Mittlere Leistung im Wechselstromkreis

• Augenblickswert
• $p(t) = \hat{u} \hat{i} cos(\omega t + \phi) cos(\omega t)$
• mit cosαcosβ = 0.5 cos(α + β) + 0.5 cos(α - β)
• α = ω t + φ und β = ω t
• $p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(2\omega t + \phi) + 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(\phi)$
• Wechselanteil 2 ω t,   Gleichanteil
• Mittlere Leistung P (Gleichanteil):Wirkleistung
  $P = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} p(t) dt = \frac{1}{2} \hat{u} \hat{i} cos \phi = U I cos \phi$
• U, I: Effektivwerte

Graphische Darstellung der Leistung

• $u(t) = \hat{u} cos(\omega t + \phi)$
• $i(t) = \hat{i} cos(\omega t)$
  mit den Amplituden $\hat{u}, \hat{i}$ und dem Winkel φ zwischen Spannung und Strom
• $p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(2\omega t + \phi) + 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(\phi)$
  Wechselanteil 2 ω t,   Gleichanteil

Leistungszerlegung

• $p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(2\omega t + \phi) + 0.5 \hat{u} \hat{i} cos \phi$
• Mit cos(α+β)=cosαcosβ - sinαsinβ
• $p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} (cos(2\omega t) cos\phi - sin(2\omega t) sin\phi) + 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(\phi)$
• $p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos\phi (cos(2\omega t) + 1) - 0.5 \hat{u} \hat{i} sin\phi sin(2\omega t)$
  Wirkleistungsschwingung           Blindleistungsschwingung

Wirkleistung und Blindleistung

• $p(t) = \hat{u} \hat{i} cos(\omega t + \phi) cos(\omega t)$
• $p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(2\omega t + \phi) + 0.5 \hat{u} \hat{i} cos(\phi)$
• $p(t) = 0.5 \hat{u} \hat{i} cos\phi (cos(2\omega t) + 1) - 0.5 \hat{u} \hat{i} sin\phi sin(2\omega t)$
  
• $p(t) = U I cos\phi (cos(2\omega t) + 1) - U I sin\phi sin(2\omega t)$
  
• U, I: Effektivwerte
• Wirkleistung: U I cosφ     (real power)
• Mittlere Leistung (average power)
• Blindleistung: U I sinφ     (reactive power)

Scheinleistung

• Scheinleistung (apparent power) S
• S = U · I
• Produkte der Effektivwerte und stets positiv
• Einheit: VA (Voltampere)
• Bemessungsleistung von Transformatoren
• Scheinleistung für eine passiven Zweipol
• Scheinwiderstand Z: S = Z I²
• Scheinleitwert Y: S = Y U²

Wirkleistung

• Wirkleistung P
• P = S cosφ
• Positives oder negatives Vorzeichen, abhängig von φ
• Verbraucherpfeilsystem
• P > 0 der Zweipol nimmt im Mittel elektrische Energie auf:
  Verbraucher
• P < 0 der Zweipol gibt im mittel elektrische Energie ab
  Erzeuger
• P = 0, cosφ = 0
  Im Mittel wird keine Energie aufgenommen oder abgegeben

Wirkleistung am passiven Zweipol

• P = S cosφ = Z I² cosφ = Y U² cosφ
• Wirkleistung proportional zum Realteil
• R = Z cosφ ergibt P = R I²
• G = Y sinφ ergibt P = G U²
• Quotient aus der Wirkleistung P und der Scheinleistung S
• Leistungsfaktor (power factor) λ (lambda)
• λ = P/S = cosφ
• Einheitlos im Wertebereich 0..1 (angestrebt λ = 1)
• Produkt aus der Wirkleistung P und Zeit t
• Wirkarbeit W
• W = P · t
• Einheit J = W s

Scheinleistung

• $p(t) = U I cos\phi (cos(2\omega t) + 1) - U I sin\phi sin(2\omega t)$
• Scheinleistung (apparent power) S
• S = U I
• Einheit VA (Voltampere)
• Produkte der Effektivwerte und stets positiv
• Wirkleistung (real power) P
• P = S cosφ
• Einheit W (Watt)
• positives oder negatives Vorzeichen
• Blindleistung (reactive power) S
• Q = S sinφ
  
• Einheit var (Volt ampere reactive)
• Produkte der Effektivwerte und stets positiv

Komplexe Leistung

Komplexes Symbol, symbolische Methode Wechselanteil der Leistung p(t) = P cos2ωt-Qsin2ωt Winkelgeschwindigkeit 2ω $\underline{S} = S e^{j\phi} = S \underline{/\phi} = P + j Q$ $\underline{S} = \underline{U} \underline{I}^{*}$ * konjugiert komplex $\underline{S} = (\underline{Z} \underline{I}) \underline{I}°{*} = \underline{Z} I^2 = \underline{U} (\underline{Y}\underline{U})^{*} = \underline{Y}^{*} U^{2}$ $\underline{S} = P + j Q = \underline{U} \underline{I}^{*} = \underline{Z} I^2 = \underline{Y}^{*} U^{2}$

Leistungsdreieck (power triangle)

Beispiel

Test Ersatzquellen und Leistung

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 32 96 0 96
WIRE 80 96 32 96
WIRE 240 96 160 96
WIRE 304 96 240 96
WIRE 32 128 32 96
WIRE 240 128 240 96
WIRE 32 224 32 208
WIRE 240 224 240 208
WIRE 240 224 32 224
WIRE 304 224 240 224
WIRE 304 240 304 224
FLAG 304 240 0
FLAG 304 96 U
FLAG 0 96 V1
SYMBOL res 176 112 M270
WINDOW 0 32 56 VTop 2
WINDOW 3 0 56 VBottom 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 20
SYMBOL ind 224 112 R0
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 80�
SYMBOL current 32 208 R180
WINDOW 0 24 80 Left 2
WINDOW 3 24 0 Left 2
WINDOW 123 0 0 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR InstName I1
SYMATTR Value SINE(0 10m 20k)
TEXT 136 264 Left 2 !.tran 400u

Zusammenfassung und nächstes Mal

• Komplexe Leistung
• Scheinleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Leistungsfaktor
• Formelzeichen und Einheiten