Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

10 Reihenschaltung

Prof. Dr. Jörg Vollrath

Rückblick und Übersicht

Ohmscher Widerstand	\( \underline{U} = R \underline{I} \)	\( \underline{Z} = R \)	P = R I²	Q = 0
Induktivität, Spule	\( \underline{U} = j \omega L \underline{I} \)	\( \underline{Z} = j \omega L \)	P = 0	Q = ω L I² > 0
Kapazität	\( \underline{U} = \frac{1}{j \omega C} \underline{I} \)	\( \underline{Z} = \frac{1}{j \omega C} \)	P = 0	Q = - ω C U² < 0

Reihenschaltung
R L, R C, \( \underline{Z}_1 \underline{Z}_2 \)
Spannungsteiler

Reihenschaltung von R und L: Ersatzschaltbild

Beide Zweipole werden vom selben Strom durchflossen
\( \underline{U}_R = R \underline{I} \)
\( \underline{U}_L = j \omega L \underline{I} \)
\( \underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_L = R \underline{I} + j \omega L \underline{I} \)
\( \underline{Z}_e = R_e + j X_e = R + j \omega L \)
Wirkwiderstand R_e = R
Scheinwiderstand
\( Z_e = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} \)

Reihenschaltung von R und L: Zeigerdiagramm

\( \underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_L = R \underline{I} + j \omega L \underline{I} \)
\( \underline{Z}_e = R_e + j X_e = R + j \omega L \)
Wirkwiderstand R_e = R
Scheinwiderstand
\( Z_e = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} \)
\( \phi_z = atan \frac{\omega L}{ R}\)
Bereich der Phasenverschiebung 0 < φ < 90°
Blindwiderstand und Blindleistung positiv
Spule für niedrige Frequenzen Reihenschaltung R und L

Beispiel R und L (25.04.2023/23.04.2024)

Eine Reihenschaltung aus den idealen Zweipolen R = 16 Ω und L = 38,2 mH wird von einem Sinusstrom 0.5 A (f=50Hz) durchflossen.
Wir wollen die Klemmenspannung, die Teilspannungen und den Phasenverschiebungswinkel berechnen. Außerdem wollen wir den komplexen Widerstand der Reihenschaltung ermitteln.

Reihenschaltung von R und C: Ersatzschaltbild

Beide Zweipole werden vom selben Strom durchflossen
\( \underline{U}_R = R \underline{I} \)
\( \underline{U}_L = \frac{1}{j \omega C} \underline{I} \)
\( \underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_C = R \underline{I} - \frac{j}{ \omega C} \underline{I} \)
\( \underline{Z}_e = R_e + j X_e = R - j \frac{1}{\omega C} \)
Wirkwiderstand R_e = R
Scheinwiderstand
\( Z_e = \sqrt{R^2 + \frac{1}{(\omega C)^2}} \)

Reihenschaltung von R und C: Zeigerdiagramm

\( \underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_C = R \underline{I} - j \frac{1}{\omega C} \underline{I} \)
\( \underline{Z}_e = R_e + j X_e = R - j \frac{1}{\omega C} \)
Wirkwiderstand R_e = R
Scheinwiderstand
\( Z_e = \sqrt{R^2 + \frac{1}{(\omega C)^2}} \)
\( \phi_z = atan \frac{1}{ \omega C R}\)
Bereich der Phasenverschiebung -90° < φ < 0°
Blindwiderstand und Blindleistung negativ

Reihenschaltung komplexe Widerstände

Lineare passive Zweipole
\( \underline{Z}_1 = R_1 + j X_1 \)
\( \underline{Z}_2 = R_2 + j X_2 \)
\( \underline{Z}_e = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 \)
\( \underline{Z}_e = (R_1 + R_2) + j (X_1 + X_2) \)
\( \underline{Z}_e = R_e + j X_e \)
X_e < 0 kapazitiv
X_e > 0 induktiv
\( \underline{Z}_e = \sum_{k=1}^n \underline{Z}_k \)
\( \underline{Z}_e= \sum_{k=1}^n R_k + j \sum_{k=1}^n X_k \)

Komplexe Leistung einer Reihenschaltung

Summe der Teilleistungen
\( \underline{S}_1 = P_1 + j Q_1 \)
\( \underline{S}_2 = P_2 + j Q_2 \)
\( \underline{S} = \underline{U} \cdot \underline{I}^* = (\underline{U}_1 + \underline{U}_2 ) \cdot \underline{I}^* = \underline{S}_1 + \underline{S}_2 \)
\( \underline{S} = (P_1 + P_2) + j (Q_1 + Q_2) \)
\( \underline{S} = \sum_{k=1}^n \underline{S}_k = \sum_{k=1}^n P_k + j \sum_{k=1}^n Q_k \)

Beispiel Komplexe Leistung einer Reihenschaltung

Wir wollen den Ersatzzweipol der Reihenschaltung von \( \underline{Z}_1 = 15.6 \Omega \underline{/39.8°}\) und \( \underline{Z}_2 = 17 \Omega \underline{/-62°}\) berechnen, sowie die Leistungen, die an 15 V Sinusspannung (f = 400 Hz) entstehen.
Wie gross sind die verwendeten Widerstände, Kapazitäten und Induktivitäten?

Einfache Kapazitätsmessung

Sinusspannungsquelle mit Amplitude \( \hat{u} \) und konstanter Frequenz f
Wechselstrommesser misst \( \hat{i} \)
Kapazitätsberechnung mit Hilfe des komplexen Widerstandes der Kapazität

\( C = \frac{I}{2 \pi f U} \)
Diskussion: Messbereich, Messabweichungen
Präszisionsmessungen: Messbrücken!?

Spannungsteilerregeln

Die Spannungsteilerregel der Gleichstromtechnik gilt auch für die Wechselstromnetze im komplexen

\( \underline{I} = \frac{\underline{U}_1}{\underline{Z}_1} = \frac{\underline{U}}{\underline{Z}} \)

\( \frac{\underline{U}_1}{\underline{U}} = \frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}} \)

Spulenmessung

Zur Bestimmung der Werte einer Spulenersatzschaltung kann das Dreispannungsmesser-Verfahren angewendet werden. Dabei wird die Spule in Reihenschaltung mit einem bekannten Widerstand RM an Sinusspannung betrieben.
Die Effektivwerte der Spannungen U, UM und Us werden gemessen; damit kann man die gesuchten Größen RS und LS berechnen.

Name des Verfahrens: Messung von 3 Spannungen

Beispiel: Spulenmessung

R_M = 27 Ω, f = 50 Hz, U_M = 5.4 V, U_S = 6.0 V, U = 10.2 V
Gesuchten Größen: R_S und L_S

Spulenmessung Rechnung (26.04.2023)

Gesuchten Größen: R_S und L_S

(1) \( \underline{U} = (R_M + R_S + j \omega L) \underline{I} \)
(2) \( \underline{U}_M = R_M \underline{I} \)
(3) \( \underline{U}_S = (R_S + j ω L) \underline{I} \)

Effektivwerte:

(4) aus (1) \( U = \sqrt{((R_M + R_S)^2+ (\omega L)^2)} I \)
(5) aus (2) U_M = R_M I
(6) aus (3) \( U_S = \sqrt{(R_S^2 + (\omega L)^2)} I \)

3 Gleichungen 3 unbekannte I, R_S,L
Umformen: I wird eliminiert:

(7) aus (4),(5) \( (R_M + R_S)^2 + (\omega L)^2 = \left( \frac{U \cdot R_M}{U_M} \right)^2 \)
(8) aus (6),(5) \( R_S^2 + (\omega L)^2 = \left( \frac{U_S R_M}{U_M} \right)^2 \)

(9) umgeformt (8) \( (\omega L)^2 = \left( \frac{U_S R_M}{U_M} \right)^2 - R_S^2 \)
(10) (9) in (7) \( (R_M + R_S)^2 + \left( \frac{U_S R_M}{U_M} \right)^2 - R_S^2 = \left( \frac{U R_M}{U_M} \right)^2 \)
Jetzt kann (10) nach R_S umgeformt werden:
(11) \( R_M^2 + 2 R_M R_S + R_S^2 + \left( \frac{U_S R_M}{U_M} \right)^2 - R_S^2 = \left( \frac{U R_M}{U_M} \right)^2 \)
(12) \( 2 R_M \cdot R_S = \left( \frac{U R_M}{U_M} \right)^2 - R_M^2 - \left( \frac{U_S R_M}{U_M} \right)^2 \)
(13) \( R_S = \frac{1}{2 R_M} \left[ \left( \frac{U R_M}{U_M} \right)^2 - R_M^2 - \left( \frac{U_S R_M}{U_M} \right)^2 \right] \)
\( R_S = \frac{R_M}{2} \left[ \left( \frac{U}{U_M} \right)^2 - 1 - \left( \frac{U_S}{U_M} \right)^2 \right] = 18 \Omega \)
Aus 9 umgeformt nach L
\( L = \frac{1}{\omega} \sqrt{\left( \frac{U_S R_M}{U_M} \right)^2 - R_S^2} = 76.4 mH \)

Mess3.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 48 64 32 64
WIRE 64 64 48 64
WIRE 240 64 144 64
WIRE 336 64 240 64
WIRE 336 96 336 64
WIRE 336 208 336 176
WIRE 336 304 336 288
WIRE 336 304 32 304
WIRE 336 320 336 304
FLAG 336 320 0
FLAG 48 64 U
FLAG 240 64 UZ
SYMBOL res 160 48 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName RM
SYMATTR Value 27
SYMBOL res 320 80 R0
SYMATTR InstName RS
SYMATTR Value 18
SYMBOL ind 320 192 R0
SYMATTR InstName LS
SYMATTR Value 76.4m
TEXT -8 192 Left 2 ;U
TEXT 80 136 Left 2 ;UM
TEXT 192 184 Left 2 ;UZ
TEXT 264 136 Left 2 ;UR
TEXT 264 240 Left 2 ;UX
TEXT 16 336 Left 2 !VU U 0 SINE(0 10.2 50)
TEXT -8 360 Left 2 !.tran 40m
LINE Normal 304 192 304 80
LINE Normal 320 176 304 192
LINE Normal 288 176 304 192
LINE Normal 304 288 304 208
LINE Normal 320 272 304 288
LINE Normal 288 272 304 288
LINE Normal 176 112 48 112
LINE Normal 160 96 176 112
LINE Normal 176 112 160 128
LINE Normal 16 304 16 64
LINE Normal 32 288 16 304
LINE Normal 0 288 16 304
LINE Normal 240 288 240 80
LINE Normal 256 272 240 288
LINE Normal 224 272 240 288

Nachdenken über die Lösung

Liste der gegebenen Größen
Liste der gesuchten Größen
Annahme: Reihenschaltung der Strom ist überall gleich
Lösungsweg: Zeigerdiagramm
Lösungsweg: Rechnung
3 Gleichungen mit 3 unbekannten -> Lösbar
Größe R, L ok? Realistisch?

Beispiel mit Electronic Explorer

Zusammenfassung und nächstes Mal

Reihenschaltung genauso im komplexen für AC wie für DC
Widerstandsaddition

\( \underline{Z} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 \)
Spannungsteiler
Leistungsaddition

11 Parallelschaltung

2022 GET 2 10 Reihenschaltung Prof. Dr. Joerg Vollrath