Übersicht

• Begriff Resonanz
• Reihen- und Parallelschwingkreis
• Zeigerdiagramm
• Resonanzüberhöhung

Schwingungsfähiges System

Schwingkreis Electronic Explorer

Serienschwingkreis Spule: Innenwiderstand 20 Ω C = 45 nF, R = 53.3 Ω, L = 2.18 mH \( f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{C L } } = 16 kHz \) \( K_U = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \)

Schwingkreis LTSPICE

Serienschwingkreis Spule: Innenwiderstand 20 Ω C = 45 nF, R = 53.3 Ω, L = 2.18 mH Resonanzfrequenz \( f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{C L } } = 16 kHz \) Spannungsüberhöhung \( K_U = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = 4.13 \) Wenn U = 1 V mit 16 kHz anliegt, so hat die Spannung am Kondensator den Wert 4.13 V

Nachdenken SPICE Simulation

• Einschwingvorgang
• Energietransfer
• Schwingung an L und C wird größer
• Spannung an Spule und Kapazität gegenphasig
• Energie wird hin und her geschoben, Blindleistung

Reihenresonanz

Reihenschaltung R, L, C Reihenschwingkreis (series oscillator circuit) \( \underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_L + \underline{U}_C \) \( \underline{U} = R \underline{I} + j \omega L \underline{I} - j \frac{1}{\omega C} \underline{I} \) \( \underline{Z} = R + j \omega L - j \frac{1}{\omega C} \) 3 Fälle: (1) \( \omega L > \frac{1}{\omega C} \) (2) \( \omega L = \frac{1}{\omega C} \) (3) \( \omega L < \frac{1}{\omega C} \)

Zeigerdiagramm Reihenresonanz

Reihenresonanz Eigenschaften

• Scheinwiderstand Z = R
  
  Im{\( \underline{Z} \)} = 0
  
  
• \( \underline{U} = \underline{U}_R \) in Phase mit \( \underline{I} \)
  U = U_R
• U_L = U_C
• I ist bei Resonanzfrequenz am größten
  Saugkreis
• Spannungsüberhöhung K_U an C und L für:
  U_L = U_C > U_R
  \( K_U = \frac{U_C}{U} = \frac{\frac{I}{\omega C}}{I R} = \frac{1}{\omega C R } = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \)
  \( K_U = \frac{U_L}{U} = \frac{I \omega L}{I R} = \frac{\omega L}{ R } = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \)
  
• Achtung bei der Bauteildimensionierung

Reihenresonanz Leistung

• Blindleistung Q
• Q_L = X_L I² = ω L I²
• \( Q_C = X_C I^2 = - \frac{1}{\omega C} I^2 \)
• Q = Q_L + Q_C = 0
• Die beiden Blindleistungen sind gegenphasig mit gleicher Amplitude
• Abwechselnd wird die Energie in den Zweipolen L und C gespeichert
• Wirkleistung P = S, \( \underline{S} \) ist reell

Beispiel Reihenschaltung

Parallelresonanz (03.05.2023)

Parallelschaltung R, L, C Reihenschwingkreis (parallel oscillator circuit) \( \underline{I} = \underline{I}_R + \underline{I}_L + \underline{I}_C \) \( \underline{I} = \frac{1}{R} \underline{U} - j \frac{1}{\omega L} \underline{U} + j \omega C \underline{U} \) \( \underline{Y} = \frac{1}{R} - j \frac{1}{\omega L} + j \omega C \) 3 Fälle: (1) \( j \omega C > \frac{1}{\omega L} \) (2) \( j \omega C = \frac{1}{\omega L} \) (3) \( j \omega C < \frac{1}{\omega L} \)

Zeigerdiagramm Parallelresonanz

Parallelresonanz Eigenschaften

• Scheinwiderstand Z = R
  
  Im{\( \underline{Z} \)} = 0
  
  
• \( \underline{I} = \underline{I}_R \) in Phase mit \( \underline{U} \)
  I = I_R
• I_L = I_C
• I ist bei Resonanzfrequenz am kleinsten
  Sperrkreis
• Stromüberhöhung K_I an C und L für:
  I_L = I_C > I_R
  \( K_I = \frac{I_C}{I_R} = \frac{ U \omega C}{\frac{U}{R}} = \omega C R = R \sqrt{\frac{C}{L}} \)
  \( K_I = \frac{I_L}{I_R} = \frac{\frac{U}{\omega L}}{\frac{U}{R}} = \frac{ R }{\omega L} = R \sqrt{\frac{C}{L}} \)
  
• Achtung bei der Bauteildimensionierung

Parallelresonanz Leistung

• Blindleistung Q
• \( Q_C = - Y_C U^2 = - \omega C I^2 \)
• \( Q_L = Y_L U^2 = \frac{1}{\omega L} U^2 \)
• Q = Q_L + Q_C = 0
• Die beiden Blindleistungen sind gegenphasig mit gleicher Amplitude
• Abwechselnd wird die Energie in den Zweipolen L und C gespeichert
• Wirkleistung P = S, \( \underline{S} \) ist reell

Beispiel Zugbeeinflussung

Indusi

PZB

Zusammenfassung und nächstes Mal

• In einem Netz mit mindestens einem Grundzweipol L und einem Grundzweipol C kann Resonanz auftreten
• Bei der Resonanzfrequenz sind U und I in Phase.
• Komplexer Widerstand Z und komplexer Leitwert Y sind reell
• Reihen und Parallelschwingkreis sind Sonderfälle, bei denen nur jeweils ein Grundzweipol R, L und C vorhanden ist und R nicht die Resonanzfrequenz bestimmt.
• Sind mehr Elemente vorhanden oder es besteht keine reine Reihen- oder Parallelschaltung
• Kann die Resonanzfrequenz auch vom Grundzweipol R abhängen.
• Kann es mehr als eine Resonanzfrequenz geben.
• Für die Resonanzfrequenz gilt Im{\( \underline{Z} \)} = 0 Im{\( \underline{Y} \)}