Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

16 Ortskurven

Prof. Dr. Jörg Vollrath

15 Netzfunktionen

Rückblick und Heute

Netzfunktion
Grenzfälle \( \omega = 0 \) und \( \omega \rightarrow \infty \)
Komponentendarstellung
Normierung mit einem Bezugswiderstand und einer Bezugsfrequenz
Ortskurvendarstellung

Heute:

Ortskurven (Nyquist Plot)

Führer, Neretter:

Ortskurvendarstellung

Grafische Veranschaulichung einer Netzfunktion
Rechtwinkliges Koordinatensystem

Realteil auf der Abszisse
Imaginärteil auf der Ordinate

Variable:

Frequenz
Veränderlicher Widerstand

Untersuchung für den Parameter Kreisfrequenz ?

ω = 0 bis \( \omega \rightarrow \infty \)

Wie sehen die Ortskurven einzelner Bauelemente R, L, C aus?
Was passiert mit Ortskurven bei Reihen- und Parallelschaltung?

Widerstandsfunktion eines Netzes

\( \underline{Z}(\omega L) = j \omega L \)
\( \underline{Y}(\omega L) = -j \frac{1}{\omega L} \)

\( \underline{Z}(\omega C) = -j \frac{1}{\omega C} \)
\( \underline{Y}(\omega C) = j \omega C \)

Angabe der Richtung von ω = 0 bis \( \omega \rightarrow \infty \)
Verfahren zur Berechnung linearer Netze lassen sich auf Ortskurven übertragen
Grafische punktweise Addition der Ortskurven

Eine Ortskurve trägt man in einem komplexen Koordinatensystem mit x-Achse Realteil und y-Achse Imaginärteil auf.
Für verschiedene Frequenzen ensteht eine Kurve, bei der mit einem Pfeil die Richtung des Verlaufs für größere Frequenzen angegeben wird.

Ein ohmscher Widerstand ist nur ein Punkt auf der Reellen Achse.
Eine Kapazität und eine Induktivität sind jeweils Halbgeraden auf der imaginären Achse.

Ortskurve und Reihenschaltung

\( \underline{Z} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 \)
Grafische punktweise Addition der Ortskurven
\( \underline{Z}_1 = R + j \omega L \)
\( \underline{Z}_2 = R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \)

Ortskurven Eigenschaften

Beliebige Netzfunktionen
Ortskurven nur in der rechten Halbebene
Imaginärteil bleibt entweder positiv oder negativ wenn gleichartige Energiespeicher im Netz sind.

Ortskurve verläuft dann entweder in der oberen oder unteren Halbebene

Bei verschiedenartigen Energiespeichern kann die Kurve oberhalb und unterhalb verlaufen
Bei Nulldurchgang befindet sich dann die Resonanzfrequenz
Normierung ist sehr wichtig bei der Darstellung verschiedener Netzfunktionen

Ortskurven zueinander inverser Funktionen

Übergang Widerstandsfunktion zur Leitwertfunktion

\( \underline{Y}(j \omega ) = \frac{1}{\underline{Z}(j\omega )} \)

Inversion, inverse Funktion
Abbildung der Funktion
Beide Kurven in der selben Abbildung: Normierung R_bez

\( \underline{z}(j\omega) = \frac{\underline{Z}(j\omega )}{R_{bez}} \)
\( \underline{y}(j\omega) = \frac{1}{\underline{z}(j\omega)} = R_{bez} \underline{Y}(j\omega) \)

Einfache Inversion in der P-Form

\( \underline{Z} = Z \underline{/\phi} = \frac{1}{Y} \underline{/-\phi} \)
Durch die Inversion werden Punkte der oberen Halbebene in die untere Halbebene abgebildet und umgekehrt
Ursprungsnächster wird ursprungsfernster Punkt
Ursprungsfernster wird ursprungsnächster Punkt

Ortskurve Test

R_bez = 0.8 R

Ortskurve Test (23.05.2023)

R_bez = 0.8 R

Spezielle Ortskurve

R_bez = 0.8 R

Leitwertortskurve

\( \underline{Z} = R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C} \)
\( \underline{Y} = \frac{1}{R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C}} \)
\( \underline{Y} = \frac{R}{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2} - j \frac{(\omega L - \frac{1}{\omega C})}{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2} \)

Was wird auf der Folie dargestellt?
Wie kommt man zur Ortskurvendarstellung des Leitwertes?
Welche Regeln gibt es?

Excel Ortskurve

Regeln zur Entwicklung von Ortskurven

Normierung
Schrittweises Zusammenfassen der Elemente
Inversion (Leitwert ↔ Widerstand)

Positive ↔ Negative Halbebene

Vorzeichen des Winkels ändert sich.

Ursprungsnaher Punkt ↔ Ursprungsferner Punkt

Punktweise Addition
Überprüfen mit Excel

Praktische Bedeutung:

Aus der Ortskurve kann man die Elemente eines Netzwerkes bestimmen.
Modellierung und Analyse unbekannter Netze

Beispiel Ortskurve

R_bez = 0.9 R1

Beispiel Ortskurve

Wir wollen die Y-Ortskurve der Schaltung bestimmen.

Beispiel Ortskurve LTSPICE

Es ist folgende Schaltung mit \( R_1 = 1 k\Omega, C_1 = 18 nF, R_2 = 3 k\Omega, L_1 = 32 mH \) gegeben.
2.1. Berechnen Sie den komplexen Eingangswiderstand in
R-Form und P-Form für \( f = 125 kHz\).
2.2. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz.
2.3. Für welche Widerstandswerte \( R_2 \) gibt es keine Resonanz?

Verifikation des Ergebnisses mit LTSPICE

In LTSPICE verifiziert man diese Lösung mit einer Stromquelle am Eingang mit 1 A.
Mit der AC Simulation wird dann \( \underline{Z} = \frac{\underline{U_1}}{\underline{I}} \) dargestellt.
Für die Frequenz 125 kHz liest man bei linearer Skalierung die P-Form ab: 3 kOhm und 5° ab.
Mit linker Maustaste (LMT) kann man für die y-Achse 'Nyquist' wählen und die Ortskurve darstellen.
Dann bekommt man die R-Form: R = 2.94 kΩ und X = 294 Ω.

Schaltungen Ortskurve

Li-Ion Akkumessung mit Ortskurven

Figure 2. Nyquist Plot for a Battery Showing the Different Regions Corresponding to an Electrochemical Process
Electrochemical Impedance Spectroscopy (EIS) for Batteries, Analog Devices

Zusammenfassung und nächstes Mal

Komplexes Koordinatensystem
Ortskurven von R, L und C
Inversion zwischen Widerstand und Leitwert
Beispiele

17 Übertragungsfunktion

2022 GET 2 16 Ortskurven Prof. Dr. Joerg Vollrath

Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

16 Ortskurven

Prof. Dr. Jörg Vollrath

Video der 19. Vorlesung 8.6.2021

Rückblick und Heute

Ortskurvendarstellung

Widerstandsfunktion eines Netzes

Ortskurve und Reihenschaltung

Ortskurven Eigenschaften

Ortskurven zueinander inverser Funktionen

Ortskurve Test

Ortskurve Test (23.05.2023)

Spezielle Ortskurve

Regeln zur Entwicklung von Ortskurven

Praktische Bedeutung:

Beispiel Ortskurve

Beispiel Ortskurve

Beispiel Ortskurve LTSPICE

Verifikation des Ergebnisses mit LTSPICE

Schaltungen Ortskurve

Li-Ion Akkumessung mit Ortskurven

Zusammenfassung und nächstes Mal