Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

16 Ortskurven

Prof. Dr. Jörg Vollrath

15 Netzfunktionen

Rückblick und Heute

Netzfunktion
Grenzfälle $\omega = 0$ und $\omega \rightarrow \infty$
Komponentendarstellung
Normierung mit einem Bezugswiderstand und einer Bezugsfrequenz
Ortskurvendarstellung

Heute:

Ortskurven (Nyquist Plot)

Führer, Neretter:

Ortskurvendarstellung

Grafische Veranschaulichung einer Netzfunktion
Rechtwinkliges Koordinatensystem

Realteil auf der Abszisse
Imaginärteil auf der Ordinate

Variable:

Frequenz
Veränderlicher Widerstand

Untersuchung für den Parameter Kreisfrequenz ?

ω = 0 bis $\omega \rightarrow \infty$

Wie sehen die Ortskurven einzelner Bauelemente R, L, C aus?
Was passiert mit Ortskurven bei Reihen- und Parallelschaltung?

Widerstandsfunktion eines Netzes

$\underline{Z}(\omega L) = j \omega L$

$\underline{Y}(\omega L) = -j \frac{1}{\omega L}$

$\underline{Z}(\omega C) = -j \frac{1}{\omega C}$

$\underline{Y}(\omega C) = j \omega C$

Angabe der Richtung von ω = 0 bis $\omega \rightarrow \infty$
Verfahren zur Berechnung linearer Netze lassen sich auf Ortskurven übertragen
Grafische punktweise Addition der Ortskurven

Eine Ortskurve trägt man in einem komplexen Koordinatensystem mit x-Achse Realteil und y-Achse Imaginärteil auf.
Für verschiedene Frequenzen ensteht eine Kurve, bei der mit einem Pfeil die Richtung des Verlaufs für größere Frequenzen angegeben wird.

Ein ohmscher Widerstand ist nur ein Punkt auf der Reellen Achse.
Eine Kapazität und eine Induktivität sind jeweils Halbgeraden auf der imaginären Achse.

Ortskurve und Reihenschaltung

$\underline{Z} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2$
Grafische punktweise Addition der Ortskurven
$\underline{Z}_1 = R + j \omega L$
$\underline{Z}_2 = R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C}$

Ortskurven Eigenschaften

Beliebige Netzfunktionen
Ortskurven nur in der rechten Halbebene
Imaginärteil bleibt entweder positiv oder negativ wenn gleichartige Energiespeicher im Netz sind.

Ortskurve verläuft dann entweder in der oberen oder unteren Halbebene

Bei verschiedenartigen Energiespeichern kann die Kurve oberhalb und unterhalb verlaufen
Bei Nulldurchgang befindet sich dann die Resonanzfrequenz
Normierung ist sehr wichtig bei der Darstellung verschiedener Netzfunktionen

Ortskurven zueinander inverser Funktionen

Übergang Widerstandsfunktion zur Leitwertfunktion

$\underline{Y}(j \omega ) = \frac{1}{\underline{Z}(j\omega )}$

Inversion, inverse Funktion
Abbildung der Funktion
Beide Kurven in der selben Abbildung: Normierung R_bez

$\underline{z}(j\omega) = \frac{\underline{Z}(j\omega )}{R_{bez}}$
$\underline{y}(j\omega) = \frac{1}{\underline{z}(j\omega)} = R_{bez} \underline{Y}(j\omega)$

Einfache Inversion in der P-Form

$\underline{Z} = Z \underline{/\phi} = \frac{1}{Y} \underline{/-\phi}$
Durch die Inversion werden Punkte der oberen Halbebene in die untere Halbebene abgebildet und umgekehrt
Ursprungsnächster wird ursprungsfernster Punkt
Ursprungsfernster wird ursprungsnächster Punkt

Ortskurve Test

R_bez = 0.8 R

Ortskurve01.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 176 -96 64 -96
WIRE 272 -96 176 -96
WIRE 176 -64 176 -96
WIRE 176 48 176 16
WIRE 272 48 272 -96
WIRE 176 128 64 128
WIRE 272 128 272 112
WIRE 272 128 176 128
SYMBOL ind 192 32 R180
WINDOW 0 36 80 Left 2
WINDOW 3 36 40 Left 2
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 120m
SYMBOL res 192 32 M0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 1.25k
SYMBOL cap 288 48 M0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 0.18�

Ortskurve Test (23.05.2023)

R_bez = 0.8 R

Ortskurve02.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 64 0 48 0
WIRE 176 0 144 0
WIRE 272 0 176 0
WIRE 176 48 176 0
WIRE 272 48 272 0
WIRE 176 128 48 128
WIRE 272 128 272 112
WIRE 272 128 176 128
WIRE 0 0 0 0
SYMBOL ind 48 16 R270
WINDOW 0 32 56 VTop 2
WINDOW 3 5 56 VBottom 2
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 120m
SYMBOL res 192 32 M0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 1.25k
SYMBOL cap 288 48 M0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 0.18�

Spezielle Ortskurve

R_bez = 0.8 R

Ortskurve03.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 80 0 48 0
WIRE 176 0 160 0
WIRE 272 0 256 0
WIRE 272 48 272 0
WIRE 272 128 272 112
WIRE 272 128 48 128
WIRE 0 0 0 0
SYMBOL ind 160 16 R270
WINDOW 0 32 56 VTop 2
WINDOW 3 5 56 VBottom 2
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 120m
SYMBOL res 176 16 M270
WINDOW 0 32 56 VTop 2
WINDOW 3 0 56 VBottom 2
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 1.25k
SYMBOL cap 288 48 M0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 0.18�

Leitwertortskurve

$\underline{Z} = R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C}$
$\underline{Y} = \frac{1}{R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}$
$\underline{Y} = \frac{R}{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2} - j \frac{(\omega L - \frac{1}{\omega C})}{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$

Was wird auf der Folie dargestellt?
Wie kommt man zur Ortskurvendarstellung des Leitwertes?
Welche Regeln gibt es?

Excel Ortskurve

Regeln zur Entwicklung von Ortskurven

Normierung
Schrittweises Zusammenfassen der Elemente
Inversion (Leitwert ↔ Widerstand)

Positive ↔ Negative Halbebene

Vorzeichen des Winkels ändert sich.

Ursprungsnaher Punkt ↔ Ursprungsferner Punkt

Punktweise Addition
Überprüfen mit Excel

Praktische Bedeutung:

Aus der Ortskurve kann man die Elemente eines Netzwerkes bestimmen.
Modellierung und Analyse unbekannter Netze

Beispiel Ortskurve

R_bez = 0.9 R1

Ortskurve.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE -48 32 -64 32
WIRE 48 32 32 32
WIRE 176 32 128 32
WIRE 272 32 176 32
WIRE 176 48 176 32
WIRE 272 48 272 32
WIRE 176 128 -64 128
WIRE 272 128 272 112
WIRE 272 128 176 128
SYMBOL res 48 16 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 1k
SYMBOL ind 144 16 R90
WINDOW 0 5 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 120m
SYMBOL res 192 32 M0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 1.25k
SYMBOL cap 288 48 M0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 0.18�

Beispiel Ortskurve

Wir wollen die Y-Ortskurve der Schaltung bestimmen.

Ortskurve04.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 80 0 48 0
WIRE 192 0 160 0
WIRE 368 0 192 0
WIRE 464 0 368 0
WIRE 192 32 192 0
WIRE 368 32 368 0
WIRE 464 48 464 0
WIRE 192 128 192 112
WIRE 192 128 48 128
WIRE 320 128 192 128
WIRE 368 128 368 112
WIRE 368 128 320 128
WIRE 464 128 464 112
WIRE 464 128 368 128
WIRE 320 144 320 128
FLAG 320 144 0
SYMBOL ind 384 16 M0
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 180m
SYMBOL res 176 16 M270
WINDOW 0 32 56 VTop 2
WINDOW 3 0 56 VBottom 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 50
SYMBOL cap 480 48 M0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 0.22�
SYMBOL res 176 16 R0
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 100

Beispiel Ortskurve LTSPICE

Es ist folgende Schaltung mit

$R_1 = 1 k\Omega, C_1 = 18 nF, R_2 = 3 k\Omega, L_1 = 32 mH$ gegeben.
2.1. Berechnen Sie den komplexen Eingangswiderstand in
R-Form und P-Form für

$f = 125 kHz$ .
2.2. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz.
2.3. Für welche Widerstandswerte

$R_2$ gibt es keine Resonanz?

SS2010_02_Ortskurve.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 224 0 192 0
WIRE 304 0 224 0
WIRE 224 32 224 0
WIRE 304 96 304 80
WIRE 224 192 224 112
WIRE 304 192 304 176
WIRE 304 192 224 192
WIRE 304 208 304 192
WIRE 304 288 304 272
WIRE 304 288 208 288
WIRE 304 304 304 288
FLAG 192 0 U1
FLAG 304 304 0
SYMBOL res 208 16 R0
WINDOW 0 51 56 VLeft 2
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 3k
SYMBOL res 288 80 R0
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 1k
SYMBOL cap 288 208 R0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 18n
SYMBOL ind 288 -16 R0
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 32m
TEXT 160 -40 Left 2 !.ac dec 10 1k 125k
TEXT 208 344 Left 2 !I1 0 U1 DC 1 AC 1

Lösung:

$\underline{Z} = \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_1 + j \omega L_1}} + \frac{1}{j \omega C_1}$

Bei der Umformung eliminiert man Brüche und bringt Unterbrüche auf einen gemeinsamen Nenner bis man nur noch einen Bruch hat.
Dann kann man konjugiert komplex erweitern.

$\underline{Z} = \frac{R_2 \left(j \omega L_1 + R_1 \right)} {j \omega L_1 + R_1 + R_2} + \frac{1}{j \omega C_1}$

Ersten Teil konjugiert komplex erweitern:

$\underline{Z} = \frac{R_2 \left(j \omega L_1 + R_1 \right) \left( R_1 + R_2 - j \omega L_1 \right)} {\left(\omega L_1 \right)^2 + \left(R_1 + R_2\right)^2} + \frac{1}{j \omega C_1}$

$\underline{Z} = R_2 \frac{j \omega L_1 \left( R_1 + R_2 - R_1 \right) + R_1 \left( R_1 + R_2 \right) + \omega^2 L_1^2} {\left(\omega L_1 \right)^2 + \left(R_1 + R_2\right)^2} + \frac{1}{j \omega C_1}$

$\underline{Z} = R_2 \frac{ R_1 \left( R_1 + R_2 \right) + \omega^2 L_1^2} {\left(\omega L_1 \right)^2 + \left(R_1 + R_2\right)^2} + j \left( \frac{\omega L_1 R_2^2 } {\left(\omega L_1 \right)^2 + \left(R_1 + R_2\right)^2} - \frac{1}{\omega C_1} \right)$

$\underline{Z} = 2.94 k\Omega + j 279 \Omega = 2957 \Omega \underline{/5.4°}$

Imaginärteil von

$\underline{Z}$ gleich 0 setzen

$Im\{\underline{Z}\} = \frac{ \omega L_1 R_2^2} {\left(\omega L_1 \right)^2 + \left(R_1 + R_2\right)^2} - \frac{1}{\omega C_1} = 0$

$\omega^2 C_1 L_1 R_2^2 = \left(\omega L_1 \right)^2 + \left(R_1 + R_2\right)^2$

$\omega^2 \left(C_1 L_1 R_2^2 - L_1^2 \right) = \left(R_1 + R_2\right)^2$

$\omega^2 = \frac{\left(R_1 + R_2\right)^2} {C_1 L_1 R_2^2 - L_1^2}$

$\omega = \sqrt{\frac{\left(R_1 + R_2\right)^2} {C_1 L_1 R_2^2 - L_1^2}} = s^{-1}$

$C_1 L_1 R_2^2 - L_1^2 \lt 0$

$R_2 \lt \sqrt{\frac{L_1}{C_1}} = 1.33 k\Omega$

Verifikation des Ergebnisses mit LTSPICE

In LTSPICE verifiziert man diese Lösung mit einer Stromquelle am Eingang mit 1 A.
Mit der AC Simulation wird dann

$\underline{Z} = \frac{\underline{U_1}}{\underline{I}}$ dargestellt.
Für die Frequenz 125 kHz liest man bei linearer Skalierung die P-Form ab: 3 kOhm und 5° ab.
Mit linker Maustaste (LMT) kann man für die y-Achse 'Nyquist' wählen und die Ortskurve darstellen.
Dann bekommt man die R-Form: R = 2.94 kΩ und X = 294 Ω.

Schaltungen Ortskurve

Li-Ion Akkumessung mit Ortskurven

Figure 2. Nyquist Plot for a Battery Showing the Different Regions Corresponding to an Electrochemical Process
Electrochemical Impedance Spectroscopy (EIS) for Batteries, Analog Devices

Zusammenfassung und nächstes Mal

Komplexes Koordinatensystem
Ortskurven von R, L und C
Inversion zwischen Widerstand und Leitwert
Beispiele

17 Übertragungsfunktion

2022 GET 2 16 Ortskurven Prof. Dr. Joerg Vollrath

Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

16 Ortskurven

Prof. Dr. Jörg Vollrath

Video der 19. Vorlesung 8.6.2021

Rückblick und Heute

Ortskurvendarstellung

Widerstandsfunktion eines Netzes

Ortskurve und Reihenschaltung

Ortskurven Eigenschaften

Ortskurven zueinander inverser Funktionen

Ortskurve Test

Ortskurve Test (23.05.2023)

Spezielle Ortskurve

Regeln zur Entwicklung von Ortskurven

Praktische Bedeutung:

Beispiel Ortskurve

Beispiel Ortskurve

Beispiel Ortskurve LTSPICE

Verifikation des Ergebnisses mit LTSPICE

Schaltungen Ortskurve

Li-Ion Akkumessung mit Ortskurven

Zusammenfassung und nächstes Mal