Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

18 Bode Diagram

Prof. Dr. Jörg Vollrath

17 Übertragungsfunktion

Video GET2 01 Einführung kompakt

Übersicht

Frequenzgang
Maß, Betrag, Phase
Amplitudengang, Phasengang, Pole, Nullstellen

Ziele Frequenzgang

die Begriffe Frequenzgang, Amplitudengang und Phasengang an Beispielen erläutern.
ein Beispiel für ein Übertragungssystem nennen.
für ein Übertragungssystem einen Übertragungsfaktor definieren.
für ein einfaches elektrisches Netz die Übertragungsfunktion berechnen.
die Bezeichnung Dezibel erläutern
den Frequenzgang einer Größe mit dem BODE-Diagramm darstellen.

Frequenzgang Inhalt

Übertragungsfaktor und Dämpfungsfaktor
Spannungsübertragungsfaktor
Stromübertragungsfaktor
Betriebsübertragungsfaktor
Betriebsdämpfungsfaktor
Logarithmierte Größenverhältnisse
Dezibel und Neper
Pol Nullstellen Plan
Bode Diagramm

Frequenzgangsfunktionen und Übertragungssystem

Frequenzgangsfunktionen

Nachrichtenübertragungssysteme (transmission systems)
Signale (signal)
Beispiel: Strom einer Spule, Spannung eines Kondensatormikrofons

Komponenten eines Übertragungssystem

Sender (transmitter)
Übertragungskanal (transmission channel)
Empfänger (receiver)
Nachrichtenquelle
Leitung
Nachrichtensenke

Signale: Spannungen, Ströme

Übertragungsfaktor und Dämpfungsfaktor

Übertragungsfaktor (transfer function)

Quotient aus Ausgangs- und Eingangsgröße

Übertragungsfaktor

$\underline{T}_{21} (j \omega ) = \frac{\underline{U}_{2} (j \omega ) }{\underline{U}_{1} (j \omega )}$
$\underline{T}_{V1} (j \omega ) = \frac{\underline{I}_{V} (j \omega ) }{\underline{U}_{1} (j \omega )}$

Dämpfungsfaktor (attenuation function)

$\underline{D}_{qV} (j \omega ) = \frac{\underline{U}_{q} (j \omega ) }{\underline{U}_{V} (j \omega )}$
Dämpfungsfunktion

Amplitudengang und Phasengang

Definition: Frequenzgang:

Eine Netzfunktion der Abhängigkeit einer Sinusfunktion oder eines Quotienten von der Frequenz

Gleichung, Kurve, Tabelle
Amplitudengang
Phasengang
Normierung: Bezug auf Quellengrößen

Bode Diagram, Pole und Nullstellen

UeberLR.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 336 48 304 48
WIRE 368 48 336 48
WIRE 496 48 448 48
WIRE 528 48 496 48
WIRE 496 112 496 48
WIRE 496 208 496 192
WIRE 496 208 304 208
WIRE 528 208 496 208
WIRE 496 224 496 208
FLAG 496 224 0
FLAG 336 48 Ue
FLAG 496 48 Ua
SYMBOL ind 464 32 R90
WINDOW 0 5 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 35m
SYMBOL res 512 208 R180
WINDOW 0 36 76 Left 2
WINDOW 3 36 40 Left 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 147
TEXT 304 232 Left 2 !;tran 1m
TEXT 304 264 Left 2 !.ac dec 50 10 100k
TEXT 296 -8 Left 2 !V1 UE 0 SINE(0 1 16k) AC 1
TEXT 264 112 Left 2 ;UE
TEXT 544 104 Left 2 ;UA
LINE Normal 304 192 288 176
LINE Normal 320 176 304 192
LINE Normal 304 192 304 64
LINE Normal 528 184 512 168
LINE Normal 544 168 528 184
LINE Normal 528 184 528 56

$\frac{\underline{U}_{A}}{\underline{U}_E} = \frac{R_1}{L_1} \frac{1}{j \omega + \frac{R_1}{L_1} }$

$\underline{T} (j\omega) = K \frac{(j \omega - s_{N1})(j \omega - s_{N2})...(j \omega - s_{Nm})} {(j \omega - s_{P1})(j \omega - s_{P2})...(j \omega - s_{Pn}) }$

Eine Übertragungsfunktion kann in einen Übertragungsfaktor $\underline{T} (j \omega)$ mit Polen s_Pi und Nullstellen s_Ni überführt werden.
Diese Darstellung erlaubt es ein Bode Diagramm zu erstellen.

Frequenzgang: x-Achse: log(f) y-Achse: $log( |\underline{t}(j \omega ) |)$ Maß
Phasengang: x-Achse: log(f) y-Achse: φ

Excel Bode_RL.xls

Übertragungsfunktion und Maß

Übertragungsfunktion (Transfer function)

$\underline{T} (j\omega) = \frac{\underline{U}_{out}}{\underline{U}_E} = \frac{j \omega + \frac{R2}{L1} }{j \omega + \frac{R1 + R2}{L1} } = \frac{j \omega - s_{N1} }{j \omega - s_{P1} }$

Die Übertragungsfunktion setzt sich aus Faktoren (jω - s_Ni) und (jω - s_Pi)^-1 zusammen.

Das Maß in Dezibel ist definiert als

$20 log_{10} \left| \frac{\underline{U}_A}{\underline{U}_E} \right| dB$

Die Übertragungsfunktion als Maß ist dann:

$A(j\omega) = 20 log_{10} \left| j \omega + \frac{R2}{L1} \right| dB - 20 log_{10} \left| j \omega + \frac{R1 + R2}{L1} \right| dB$

Die Übertragungsfunktion stellt das Maß in Dezibel (dB) und die Phase über der logarithmischer Frequenz dar.

Durch die obige Form kann man die Übertragungsfunktion als Maß mit einer logarithmischen Frequenz schnell zeichnen.
Man beachte dass negative Vorzeichen beim Maß für den Nenner.

Jede Übertragungsfunktion wird so umgeformt, dass im Zähler und Nenner ein Polynom von jω steht.
Durch suche der Nullstellen kann man dieses Polynom dann zerlegen.
z.B. (jω)² + 2 Re jω + Re² = (jω + Re )²
Die Übertragungsfunktion setzt sich dann aus einzelnen Termen von jω zusammen.
Die einzelnen Terme werden graphisch addiert (subtrahiert).

Da jω in der Elektrotechnik als s abgekürzt wird und der obige Term (jω + s_Ni) sich wie eine Nullstelle (N_i verhält, ergibt sich der Bezeichner s_Ni.
Für den Nenner (jω + s_Pi)^-1 ergibt sich eine Polstelle (P_i)

Maße in Dezibel, die man sich merken sollte:

20 dB entsprechen einem Faktor 10.
6 dB entsprechen einem Faktor 2.
3 dB entsprechen einem Faktor

$\sqrt{2}$ .
0 dB entsprechen dem Faktor 1.

Untersuchung der Übertragungsfunktion als Maß

$A(j\omega) = 20 log_{10} \left| j \omega + \frac{R2}{L1} \right| dB - 20 log_{10} \left| j \omega + \frac{R1 + R2}{L1} \right| dB$

Für die Zeichnung untersucht man für jeden Term: jω + Re, ob ω viel größer als der Realteil Re ist oder viel kleiner.

j ω >> Re:

$20 log_{10} | j \omega |$

Wenn sich ω um den Faktor 10 ändert, ändert sich das Maß um 20 dB. Eine Gerade mit Steigung 20 dB pro Dekade (Faktor 10).

j ω << Re :

$20 log_{10} | Re |$

Der Betrag ist konstant. Eine Gerade mit Steigung 0.

Der Übergang dieser Funktionen passiert, wenn | jω | = Re ist (Eckfrequenz).

3dB Eckfrequenz

Untersuchung von

$20 log_{10} \left| j \omega - s_{N1} \right| dB$

für | jω | = Re

$20 log_{10} \left( \sqrt{ Re^2 + Re^2} \right) dB = 20 log_{10} \left( \sqrt{2} \cdot Re \right) dB$

$= 20 log_{10} \left( \sqrt{2} \right) dB + 20 log_{10} \left(Re \right) dB$

$= 3 dB + 20 log_{10} \left(Re \right) dB$

Die reale Übertragungsfunktion als Maß weicht an der Eckfrequenz um 3 dB von den idealisierten Geraden ab.

Der Phasengangs der Übertragungsfunktion (06.06.2023)

Untersuchung von

$\underline{T} (j\omega) = \frac{\underline{U}_{out}}{\underline{U}_E} = \frac{j \omega + Re_Z }{j \omega + Re_N } = \frac{j \omega - s_{N1} }{j \omega - s_{P1} }$

$\phi (j\omega) = atan\left(\frac{\omega}{Re_Z}\right) - atan\left(\frac{\omega}{Re_N}\right)$

j ω >> Re:

$atan\left(\frac{\omega}{Re}\right) = 90°$

j ω << Re :

$atan\left(\frac{\omega}{Re}\right) = 0°$

j ω = Re:

$atan\left(\frac{Re}{Re}\right) = 45°$

Für die Zeichnung untersucht man für jeden Term: jω + Re, ob ω viel größer als der Realteil Re ist oder viel kleiner.

Für j ω >> Re ist der Winkel konstant 90° (π/2).
Für j ω << Re ist der Winkel konstant 0° (0).
Der Übergang dieser Funktionen passiert, wenn | jω | = Re ist (Eckfrequenz).
Für j ω = Re: ist der Winkel ist 45° (π/4).

Bei einem Faktor 10 für ω ist jω >> Re oder jω << Re.
Man kann beim Zeichnen also die Punkte für f_3dB, 1/10 f_3dB und 10 f_3dB einzeichnen.

Die Umrechnung von Bogenmaß in Grad erfolgt mit:
π = 180°

$\phi_B = \frac{\phi_{Grad}}{180} \cdot \pi$

$\phi_{Grad} = \frac{\phi_B}{\pi} \cdot 180°$

Entwicklung eines Bode Diagramms

Maß

Teilfunktionen:

Faktor K: Gerade
Nullstelle jω - s_ni: Parallele Gerade zur x-Achse (20 log(-s_ni) ) und Knick nach oben (20 dB/dec) bei - s_ni
Polstelle jω - s_pi: Parallele Gerade zur x-Achse (-20 log(-s_pi) ) und Knick nach unten (20 dB/dec) bei - s_pi

Punktweise Addition

Winkel

Teilfunktionen:

Nullstelle jω - s_ni: 0° bis - s_ni/10, +45° bei - s_ni und 90° ab - s_ni·10
Polstelle jω - s_pi: 0° bis - s_pi/10, -45° bei - s_pi und -90° ab - s_pi·10

Punktweise Addition

Übertragungsfunktion und Maß des Beispiels

$\frac{U_{out}}{U_E} = \frac{j \omega + \frac{R2}{L1} }{j \omega + \frac{R1 + R2}{L1} }$

$20 log_{10} | j \omega + \frac{R2}{L1} |$

$- 20 log_{10} | {j \omega + \frac{R1 + R2}{L1} } |$

$\frac{R2}{2 \pi L1 } = 86 kHz$

$\frac{R1 + R2}{2 \pi L1} = 934 kHz$

$20 log | \frac{R2}{L1} | = 114 dB$ und

$- 20 log | {\frac{R1 + R2}{L1} } | = - 135 dB$

$\frac{R2}{L1} = 533E3 s^{-1}$

$\frac{R1 + R2}{L1} = 5866E3 s^{-1}$
Mit der Normierung auf s^-1 kann man den 10er Logarithmus berechnen:

$20 log (\frac{R2}{L1}) = 135 dB$

$20 log (\frac{R1 + R2}{L1}) = 114 dB$
Man kann nun die 2 Punkte eintragen:
P1(533E3 s^-1, 135 dB) und P2(5866E3 s^-1, 114 dB)
Zwischen diesen Punkten liegt näherungsweise eine Gerade mit Steigung 20dB/Dekade (Faktor 10).
Rechts und links der Punkte ist das Maß konstant (jω<<Re).

Übertragungsfunktion eines Netzes

Gesucht ist die Übertragungsfunktion folgenden Netzes:

UeberRGC.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 336 48 304 48
WIRE 368 48 336 48
WIRE 496 48 448 48
WIRE 592 48 496 48
WIRE 656 48 592 48
WIRE 496 112 496 48
WIRE 592 112 592 48
WIRE 496 208 496 192
WIRE 496 208 304 208
WIRE 592 208 592 176
WIRE 592 208 496 208
WIRE 656 208 592 208
WIRE 496 224 496 208
FLAG 496 224 0
FLAG 336 48 Ue
FLAG 496 48 Ua
SYMBOL res 352 64 R270
WINDOW 0 32 56 VTop 2
WINDOW 3 0 56 VBottom 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 100
SYMBOL res 480 96 R0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 300
SYMBOL cap 576 112 R0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 1�
TEXT 304 232 Left 2 !;tran 1m
TEXT 304 264 Left 2 !.ac dec 50 10 100k
TEXT 296 -8 Left 2 !V1 UE 0 SINE(0 1 16k) AC 1
TEXT 264 112 Left 2 ;UE
TEXT 672 112 Left 2 ;UA
LINE Normal 304 192 288 176
LINE Normal 320 176 304 192
LINE Normal 304 192 304 64
LINE Normal 656 192 640 176
LINE Normal 672 176 656 192
LINE Normal 656 192 656 64

Wir wollen den Amplituden und Phasengang der Spannung U(j ω), den Frequenzgang F(jω) der auf die Quellenspannung bezogenen Spannung bestimmen.

$\underline{F} \left( j \omega \right) = \frac{\underline{U}_A \left( j \omega \right)}{\underline{U}_E \left( j \omega \right)} =$
Spannungsteilerregel, da der Strom der Gleiche ist:

$\underline{I} = \frac{ \underline{U}_E}{R_1 + \frac{1}{\frac{1}{R_2} + j \omega C_1}} = \underline{U}_A \left( \frac{1}{R_2} + j \omega C_1 \right)$

$\underline{F} \left( j \omega \right) = \frac{\underline{U}_A}{\underline{U}_E} = \frac{ 1}{ \left( R_1 + \frac{1}{\frac{1}{R_2} + j \omega C_1} \right) \left( \frac{1}{R_2} + j \omega C_1 \right)}$
Die Brüche unter dem Bruchstrich sollen eliminiert werden: Ausmultiplizieren

$\underline{F} \left( j \omega \right) = \frac{\underline{U}_A}{\underline{U}_E} = \frac{ 1}{ \frac{R_1}{R_2} + j \omega C_1 R_1 + 1} = \frac{ 1}{ j \omega C_1 R_1 + \frac{R_1}{R_2} + 1} = \frac{ 1}{C_1 R_1} \frac{ 1}{ j \omega + \frac{R_1 + R_2 }{C_1 R_1 R_2}}$

$K = \frac{ 1}{C_1 R_1}$

$s_{p1} = - \frac{R_1 + R_2 }{C_1 R_1 R_2}$

Amplitudengang:

$U_A ( \omega ) = U_E K \frac{1}{\sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2 }{C_1 R_1 R_2} \right)^2 + \omega^2 } }$
Phasengang:

$\phi_A ( \omega ) = \phi_E - arctan \left( \frac{\omega}{\frac{R_1 + R_2 }{C_1 R_1 R_2}} \right) = \phi_E - arctan \left( \frac{\omega C_1 R_1 R_2 }{R_1 + R_2 } \right)$

Logarithmische Größenverhältnisse:

Frequenz $\omega$ und der Betrag werden logarithmisch aufgetragen.
Vorteile:

Größen mit stark unterschiedlichen Zahlenwerten können grafisch so veranschaulicht werden, dass die Ablesegenauigkeit dem jeweiligen Wert der Größe entspricht.
Die Darstellungen der Frequenzabhängigkeit in Diagrammen führen bei der Verwendung logarithmierter Größenverhältnisse häufig auf Geradenabschnitte.
Multiplikationen der ursprünglichen Größen gehen in Additionen der logarithmierten Größen über und können daher leichter ausgeführt werden.

Größenverhältnis ist der dimensionslose Quotient zweier gleichartiger physikalischer Größen
Ansonsten normiert man mit 1 V, 1 A, 1 Ω
Man kann mit verschiedenen Größen normieren
Es können verschiedene Basen für den Logarithmus verwendet werden

Die Logarithmusfunktion (Wikipedia)

Basis des Logarithmus:

Basis 10: lg, log, log₁₀
Basis e (Eulersche Zahl): ln

Logarithmus:

Mit welcher Zahl muss ich die Basis potenzieren um x zu erhalten
y = log x 10^y = x
y = ln x e^y = x

Rechnen

log(ab) = log a + log b
log(a²) = log(aa) = loga + loga = 2 log a

Wikipedia Logarithmus

Logarithmische Größenverhältnisse in Dezibel

Energiegrößen und Feldgrößen

Logarithmierte Größenverhältnisse in Dezibel

Quotient zweier Wirkleistungen

$a_p = 10 \cdot log \frac{P_1}{P_2} dB = 20 \cdot log \frac{U_1}{U_2} dB$

Mit

$P = \frac{U^2}{R}$

Zusatz dB Dezibel Dimensionslos, wie rad

Zahlenwerte und Dezibel

Faktor	log₁₀	dB	ln
1	0	0	0
2	0.3	6	0.69
2.72	0.43	8.6	1
7.39	0.87	17.4	2
10	1	20	2.3
100	2	40	4.6

Beispiel Dezibel

Wir wollen das Verhältnis der Leistungen P_l = 20 W und P₂ = 50 mW in dB angeben:

$a_p = 10 lg \frac{P_1}{P_2} = 10 lg \frac{20 W}{0.05 W} = 10 lg 400$

$a_p = 10 lg ( 2 \cdot 2 \cdot 100 ) = 10 \cdot ( 0.3 + 0.3 + 2) dB = 26 dB$

Logarithmische Größenverhältnisse in Neper

Hier ist die Basis e und der Zusatz Np (Neper)

$a_p = 0.5 ln \frac{P_1}{P_2} Np$

Umrechnung Neper und Dezibel
Direkte Proportionalität
1 Np = 8.69 dB
1 dB = 0.115 Np

Pegel (Level)

Absoluter Pegel

Feste Bezugsgröße die nicht vom Betriebszustand abhängig ist
Die Bezugsgröße muss genannt werden.

Relativer Pegel

Differenz der Pegel zwischen Messstelle und Bezugsstelle
Angabe in dBr
Relativer Pegel kann auch ohne Bezugsgröße verwendet werden.

Spannungspegel Wikipedia

Der Pegelangabe in dBm liegt die Bezugsleistung 1 mW zu Grunde. Sollen Strom- oder Spannungspegel in dBm angegeben werden, so wird als Bezugswiderstand in der Hochfrequenztechnik 50 Ω und in der Telefon- und Weit-verkehrstechnik 600 Ω verwendet. Eine Angabe in dBm0 weist durch die nachgestellte 0 darauf bin, dass dieser Pegel in dBm an einer Bezugsstelle im Netz auftritt. In der Telefontechnik ist die Bezugsstelle z. B. der Eingang zu einer Frequenzmultiplexeinrichtung. Der genormte Pegel an dieser Stelle ist -15 dBm0.
In der Fernsehtechnik werden Pegel oft in dBµV angegeben. Die Bezugsgröße ist die Spannung 1µV. Strom und Leistungspegel werden mit dem Widerstand 75 Ω gebildet.
Mit der Pegelangabe in dBc beschreibt man die relative Größe von Seitenbändern eines modulierten Trägers. Der Zusatz "c" weist auf den Träger (carrier) hin.

Beispiel Übertragungsfunktion

Wir wollen den Übertragungsfaktor T(jω) bestimmen.

Uebertragung_RCCR.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 144 48 80 48
WIRE 256 48 224 48
WIRE 288 48 256 48
WIRE 384 48 352 48
WIRE 80 80 80 48
WIRE 256 80 256 48
WIRE 384 80 384 48
WIRE 80 176 80 160
WIRE 256 176 256 144
WIRE 256 176 80 176
WIRE 384 176 384 160
WIRE 384 176 256 176
WIRE 256 192 256 176
FLAG 256 192 0
SYMBOL voltage 80 64 R0
WINDOW 0 24 16 Invisible 2
WINDOW 3 24 104 Invisible 2
WINDOW 123 0 0 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR InstName Vq
SYMATTR Value SINE(0 1 1k)
SYMATTR Value2 AC 1
SYMBOL res 240 32 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 50
SYMBOL cap 240 80 R0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 2n
SYMBOL cap 352 32 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C2
SYMATTR Value 2n
SYMBOL res 368 64 R0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 50
TEXT 304 120 Left 2 ;U2
TEXT 192 120 Left 2 ;U1
TEXT 8 120 Left 2 ;Uq
TEXT 40 192 Left 2 !;ac dec 10 1 1G
TEXT 288 200 Left 2 !.tran 4ms
LINE Normal 336 160 336 64
LINE Normal 336 160 336 160
LINE Normal 320 144 336 160
LINE Normal 352 144 336 160
LINE Normal 224 160 224 64
LINE Normal 224 160 224 160
LINE Normal 208 144 224 160
LINE Normal 240 144 224 160
LINE Normal 40 160 40 64
LINE Normal 40 160 40 160
LINE Normal 24 144 40 160
LINE Normal 56 144 40 160

Ein belasteter Spannungsteiler.
Das Problem wird zerlegt in die Bestimmung von

$\underline{U}_1$ und

$\underline{U}_2$

$\underline{T}(j \omega ) = \frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_q} = \frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1} \frac{\underline{U}_1}{\underline{U}_q}$

Ansatz für die Spannungen

$\frac{\underline{U}_2}{R_2} = \frac{\underline{U}_1}{R_2 + \frac{1}{j \omega C_2}} = \frac{\underline{U}_1}{\underline{Z}_2}$

$\frac{\underline{U}_q}{R_1 + \frac{1}{j \omega C_1 + \frac{1}{R_2 + \frac{1}{j \omega C_2}}}} = \frac{\underline{U}_1}{\frac{1}{j \omega C_1 + \frac{1}{R_2 + \frac{1}{j \omega C_2}}}}$

$\frac{\underline{U}_q}{R_1 + \underline{Z}_1} = \frac{\underline{U}_1}{\underline{Z}_1}$

$\frac{\underline{U}_1}{\underline{U}_q} = \frac{\underline{Z}_1}{R_1 + \underline{Z}_1} = \frac{1}{R_1 \underline{Y}_1 + 1 }$

$\underline{Z}_2 = R_2 + \frac{1}{j \omega C_2} = \frac{j \omega C_2 R_2 + 1}{j \omega C_2}$

$\underline{Y}_1 = j \omega C_1 + \frac{1}{R_2 + \frac{1}{j \omega C_2}} = j \omega C_1 + \frac{j \omega C_2}{j \omega C_2 R_2 + 1}$

$\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1} = \frac{R_2}{\underline{Z}_2} = \frac{j \omega C_2 R_2}{j \omega C_2 R_2 + 1}$

$\frac{\underline{U}_1}{\underline{U}_q} = \frac{1}{R_1 \underline{Y}_1 + 1 } = \frac{1}{R_1 \left( j \omega C_1 + \frac{j \omega C_2}{j \omega C_2 R_2 + 1} \right) + 1 }$

$\underline{T}(j \omega ) = \frac{R_2 }{\underline{Z}_2} \frac{1}{\frac{R_1}{\underline{Z}_1}+1} = \frac{j \omega C_2 R_2}{j \omega C_2 R_2 + 1} \frac{1}{R_1 \left( j \omega C_1 + \frac{j \omega C_2}{j \omega C_2 R_2 + 1} \right) + 1 }$

$\underline{T}(j \omega ) = \frac{j \omega C_2 R_2} {\left( R_1 j \omega C_1 + 1 \right) \left( j \omega C_2 R_2 + 1 \right) + j \omega C_2 R_1}$

$\underline{T}(j \omega ) = C_2 R_2 \frac{j \omega } {\left( j \omega \right)^2 R_1 C_1 R_2 C_2 + j \omega \left( R_1 C_1 + C_2 \left( R_2 + R_1 \right) \right) + 1}$

$\underline{T}(j \omega ) = \frac{C_2 R_2}{R_1 C_1 R_2 C_2} \frac{j \omega } {\left( j \omega \right)^2 + \frac{ j \omega \left( R_1 C_1 + C_2 \left( R_2 + R_1 \right)\right) + 1}{R_1 C_1 R_2 C_2} }$

$\underline{T}(j \omega ) = \frac{1}{R_1 C_1} \frac{j \omega } {\left( j \omega \right)^2 + j \omega \frac{R_1 C_1 + C_2 \left( R_2 + R_1 \right)}{R_1 C_1 R_2 C_2} + \frac{1}{R_1 C_1 R_2 C_2} }$

Mit

$b = \frac{R_1 C_1 + C_2 \left( R_2 + R_1 \right)}{R_1 C_1 R_2 C_2}$

$c = \frac{1}{R_1 C_1 R_2 C_2}$

werden die Nullstellen des Nenners ermittelt:

$\left( j \omega \right)^2 + j \omega b + c = 0$

$j \omega_{1,2} = - \frac{1}{2} b \pm \sqrt{\frac{1}{4}b^2 - c}$

Pole:
s_p1 = -3.82 · 10⁶s^-1
s_p2 = -2.62 · 10⁷s^-1
Nullstelle: ω = 0 s^-1

$K = \frac{1}{R_1 C_1} = 10^{7} s^{-1}$

$\underline{T}(j \omega ) = K \frac{j \omega - 0} {\left( j \omega - s_{p1} \right) \left( j \omega - s_{p2} \right)}$

$\underline{T}(j \omega ) = 10^{7} s^{-1} \frac{j \omega - 0} {\left( j \omega + 3.82 \cdot 10^{6}s^{-1} \right) \left( j \omega + 2.62 \cdot 10^{7}s^{-1} \right)}$

Vergleich mit dem Frequenzgang der Teilschaltungen:

$\frac{\underline{U}_{1x}}{\underline{U}_{q}} = \frac{1}{\left( R_1 + \frac{1}{j \omega C_1} \right) j \omega C_1 }$

$\frac{\underline{U}_{1x}}{\underline{U}_{q}} = \frac{1}{ j \omega C_1 R_1 + 1 }$

Pole:
s_p1x = -1 · 10⁷s^-1
s_p2x = -1 · 10⁷s^-1

Beispiel Übertragungsfunktion

Uebertragung_RCCR_02.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 144 0 80 0
WIRE 256 0 224 0
WIRE 288 0 256 0
WIRE 384 0 352 0
WIRE 80 80 80 0
WIRE 256 80 256 0
WIRE 384 80 384 0
WIRE 80 176 80 160
WIRE 256 176 256 144
WIRE 256 176 80 176
WIRE 384 176 384 160
WIRE 384 176 256 176
WIRE 256 192 256 176
FLAG 256 192 0
FLAG 80 0 Uq
FLAG 256 0 U1
FLAG 384 0 U2
SYMBOL voltage 80 64 R0
WINDOW 0 24 16 Invisible 2
WINDOW 3 24 104 Invisible 2
WINDOW 123 8 8 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR InstName Vq
SYMATTR Value SINE(0 1 1E3)
SYMATTR Value2 AC 1
SYMBOL res 240 -16 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 4.7k
SYMBOL cap 240 80 R0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 2.2n
SYMBOL cap 352 -16 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C2
SYMATTR Value 22n
SYMBOL res 368 64 R0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 47k
TEXT 304 120 Left 2 ;U2
TEXT 192 120 Left 2 ;U1
TEXT 8 120 Left 2 ;Uq
TEXT 32 200 Left 2 !.ac dec 10 1 1E9
TEXT 104 24 Left 2 ;Iq
TEXT 264 56 Left 2 ;IC1
TEXT 400 56 Left 2 ;IR2
LINE Normal 336 160 336 16
LINE Normal 336 160 336 160
LINE Normal 320 144 336 160
LINE Normal 352 144 336 160
LINE Normal 224 160 224 16
LINE Normal 224 160 224 160
LINE Normal 208 144 224 160
LINE Normal 240 144 224 160
LINE Normal 40 160 40 16
LINE Normal 40 160 40 160
LINE Normal 24 144 40 160
LINE Normal 56 144 40 160
LINE Normal 80 16 80 16
LINE Normal 96 32 80 16
LINE Normal 64 32 80 16
LINE Normal 256 48 256 48
LINE Normal 240 32 256 48
LINE Normal 272 32 256 48
LINE Normal 384 48 384 48
LINE Normal 368 32 384 48
LINE Normal 400 32 384 48

b = 1.07E5
c = 9.35E7
f1 = 140 Hz
f2 = 17 kHz

Übertragungsfunktion Verifikation mit LTSPICE

3.1. Geben Sie die Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion

$\frac{\underline{U}_1}{\underline{U}_q}$ von folgendem Netz an.

$R_1 = 10 \Omega, R_2 = 2490 \Omega, L = 40 mH, C = 40nF$ .
3.2. Geben Sie die Spannung

$\underline{U}_1$ für

$\omega = 0$ und

$\omega \rightarrow \infty$ an.

SS2010_03.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 128 -96 112 -96
WIRE 144 -96 128 -96
WIRE 240 -96 208 -96
WIRE 368 -96 320 -96
WIRE 432 -96 368 -96
WIRE 368 -80 368 -96
WIRE 368 16 368 0
WIRE 208 112 128 112
WIRE 368 112 368 96
WIRE 368 112 208 112
WIRE 432 112 368 112
WIRE 208 128 208 112
FLAG 208 128 0
FLAG 128 -96 Uq
SYMBOL res 384 16 R180
WINDOW 0 36 76 Left 2
WINDOW 3 36 40 Left 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 10
SYMBOL cap 208 -112 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C
SYMATTR Value 40n
SYMBOL ind 384 0 M0
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 40m
SYMBOL res 336 -112 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 2490
TEXT 88 -8 Left 2 ;Uq
TEXT 248 144 Left 2 !U1 Uq 0 AC 1
TEXT 448 8 Left 2 ;U1
LINE Normal 128 96 128 -80
LINE Normal 144 80 128 96
LINE Normal 128 96 112 80
LINE Normal 432 96 432 -80
LINE Normal 416 80 432 96
LINE Normal 432 96 448 80

Laplace Funktion in LTSPICE, Analog Devices

Lösung:

$\frac{\underline{U}_1}{\underline{U}_q} = \frac{ R_1 + j \omega L_1}{\frac{1}{j \omega C} + R_2 + R_1 + j \omega L_1}$

$\frac{\underline{U}_1}{\underline{U}_q} = L_1 \frac{\left(j \omega + \frac{R_1}{L_1}\right) j \omega} {(j \omega)^2 L_1 + j \omega (R_1 + R_2) + \frac{1}{C}}$

$\frac{\underline{U}_1}{\underline{U}_q} = \frac{\left(j \omega + \frac{R_1}{L_1}\right) j \omega} {(j \omega)^2 + j \omega \frac{R_1 + R_2}{L_1} + \frac{1}{C L_1}}$

$j \omega_{1,2} = \frac{R_1 + R_2}{2 L_1} \pm \sqrt{\frac{(R_1 + R_2)^2}{4 L_1^2} - \frac{1}{C L_1}}$

$j \omega_{1,2} = \frac{R_1 + R_2}{2 L_1} \pm \sqrt{\frac{(R_1 + R_2)^2}{4 L_1^2} - \frac{1}{C L_1}}$

s_N1 = 0
s_N2 = -250 s^-1
f_sN2 = 39.8 Hz
s_P1 = -50000 s^-1
s_P2 = -12500 s^-1
f_sP1 = 7.96 kHz
f_sP2 = 2
kHz

$U_1 (\omega = 0) = 0 V$

$U_1 (\omega \rightarrow \infty) = U_q$

Man kann in LTSPICE gesteuerte Quellen mit einer Laplace-Gleichung, einer Übertragungsfunktion eingeben und so den Ansatz und alle Rechenschritte überprüfen.

SS2010_03_Laplace.asc

Version 4
SHEET 1 932 680
WIRE 128 -96 112 -96
WIRE 144 -96 128 -96
WIRE 240 -96 208 -96
WIRE 368 -96 320 -96
WIRE 432 -96 368 -96
WIRE 368 -80 368 -96
WIRE 368 16 368 0
WIRE 208 112 128 112
WIRE 368 112 368 96
WIRE 368 112 208 112
WIRE 432 112 368 112
WIRE 208 128 208 112
WIRE 304 176 192 176
WIRE 192 208 192 176
WIRE 144 224 112 224
WIRE 144 272 128 272
WIRE 128 304 128 272
WIRE 192 304 192 288
WIRE 304 352 192 352
WIRE 192 384 192 352
WIRE 144 400 112 400
WIRE 144 448 128 448
WIRE 128 480 128 448
WIRE 192 480 192 464
FLAG 208 128 0
FLAG 128 -96 Uq
FLAG 192 304 0
FLAG 128 304 0
FLAG 112 224 Uq
FLAG 432 -96 U1
FLAG 304 176 U11
FLAG 192 480 0
FLAG 128 480 0
FLAG 112 400 Uq
FLAG 304 352 U12
SYMBOL res 384 16 R180
WINDOW 0 36 76 Left 2
WINDOW 3 36 40 Left 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 10
SYMBOL cap 208 -112 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C
SYMATTR Value 40n
SYMBOL ind 384 0 M0
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 40m
SYMBOL res 336 -112 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 2490
SYMBOL e 192 192 R0
SYMATTR InstName E1
SYMATTR Value Laplace = (10 + s * 40E-3)/(1/(s*40E-9)+ 2500 + s * 40E-3)
SYMBOL e 192 368 R0
SYMATTR InstName E2
SYMATTR Value Laplace = s * (s+250)/(s+50E3)/(s+12.5E3)
TEXT 88 -8 Left 2 ;Uq
TEXT 248 144 Left 2 !Vq Uq 0 DC 1 AC 1
TEXT 448 8 Left 2 ;U1
TEXT 60 328 Left 2 !.ac dec 10 1 1G
LINE Normal 128 96 128 -80
LINE Normal 144 80 128 96
LINE Normal 128 96 112 80
LINE Normal 432 96 432 -80
LINE Normal 416 80 432 96
LINE Normal 432 96 448 80

Zusammenfassung und nächstes Mal

Übertragungsfunktion, Bode Diagramm
Maß, Dezibel, Phase
Konstruktion der Kurven
Vierpole

19 Vierpole

2023 GET 2 18 Bode Diagramm Prof. Dr. Joerg Vollrath

Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

18 Bode Diagram

Prof. Dr. Jörg Vollrath

Video der 19. Vorlesung 8.6.2021

Übersicht

Ziele Frequenzgang

Frequenzgang Inhalt

Frequenzgangsfunktionen und Übertragungssystem

Übertragungsfaktor und Dämpfungsfaktor

Amplitudengang und Phasengang

Bode Diagram, Pole und Nullstellen

Übertragungsfunktion und Maß

Übertragungsfunktion (Transfer function)

Untersuchung der Übertragungsfunktion als Maß

3dB Eckfrequenz

Der Phasengangs der Übertragungsfunktion (06.06.2023)

Entwicklung eines Bode Diagramms

Maß

Winkel

Übertragungsfunktion und Maß des Beispiels

Übertragungsfunktion eines Netzes

Logarithmische Größenverhältnisse:

Die Logarithmusfunktion (Wikipedia)

Logarithmische Größenverhältnisse in Dezibel

Zahlenwerte und Dezibel

Beispiel Dezibel

Logarithmische Größenverhältnisse in Neper

Pegel (Level)

Beispiel Übertragungsfunktion

Beispiel Übertragungsfunktion

Übertragungsfunktion Verifikation mit LTSPICE

Zusammenfassung und nächstes Mal