Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

20 Filter

Prof. Dr. Jörg Vollrath

19 Vierpole

Video GET2 01 Einführung kompakt

Inhalt Filternetze

Grenzfrequenz

Leistungsbetrachtung, Filter (Ordnungszahl)

Tiefpass

Idealer Tiefpass, Erster Ordnung , Beispiel 6.20

Hochpass

Elementarer Hochpass, Erster Ordnung, Beispiel 6.21, Praxisbezug

Bandpass

Untere, obere Grenzfrequenz, Polgüte, (normierte) Verstimmung, Beispiel, Praxisbezug

Bandsperre
Allpass
Filter höherer Ordnung

Lautstärkepegel

Wikipedia

Die y-Achse gibt den Wertebereich an: 140 dB entsprechen ENOB = 140 dB /6 dB = 24 Bit.

Anwendungen

Lautsprecherbox, Tonfrequenz 20 Hz, 20 kHz
Oszilloskop: Anti-aliasing Filter
Netzfilter

Lautsprecherweiche

	Sinuslive 3-Wege-Frequenzweiche CR345
Analyse von Netzen an Sinusquellen durch Berechnung eines komplexen Widerstandes und einer Übertragungsfunktion Analytische Gleichungen Verifikation von Ergebnissen mit SPICE numerische Berechnung

Ziele

die Begriffe 3-dB-Grenzfrequenz, Durchlass- und Sperrbereich erläutern.
die Begriffe untere und obere Grenzfrequenz, Sperrfrequenz und Übergangsbereich anhand einer Skizze erklären.
angeben, wie die Ordnungszahl eines Filters definiert ist.
den Frequenzgang des Übertragungsfaktors der vier idealen Filterarten skizzieren.
die Forderungen an die Übertragungsfunktionen realer Filter und die Lage ihrer Pol- und Nullstellen nennen.
je eine Schaltung für einen elementaren Hochpass, Tiefpass, Bandpass und eine elementare Bandsperre angeben und jeweils die 3-dB-Grenzfrequenzen berechnen.
die vorgenannten elementaren Filter dimensionieren.

Ziele

die Gleichungen für die Bandbreite, Bandmittenfrequenz und Verstimmung angeben.
die Resonanzüberhohung und die Güte eines Reihen-bzw. Parallelschwingkreises berechnen.
die Lage der Pole und Nullstellen eines Allpasses skizzieren und mit ihnen den Betrag und den Winkel des Übertragungsfaktors berechnen.
die Schaltung eines Allpasses erster Ordnung angeben.
zeigen, wie durch Frequenztransformation die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses in die eines Hochpasses überführt werden kann.
erläutern, was man unter einem Polynomfilter versteht.

Filtersystemsicht

Die Wirkleistung an einem Verbraucher ist frequenzabhängig.
Es gibt eine maximale Wirkleistung P_max.

Durchlassbereich (pass band):
P(ω) > P_max/2
Sperrbereich (stop band):
P(ω) < Pmax/2
Grenzfrequenz (cutoff frequency) fg: P(ω_g)/Pmax = 1/2

Filter

Ein Zweitor mit mindestens einem Durchlaßbereich und einem Sperrbereich nennt man Filter
Untere, obere Grenzfrequenz, Eckfrequenz
Bsp:
Ein Durchlassbereich
2 Sperrbereiche
Ideal: Rot
Real:
Durchlassbereich
a_D = 10 log kD > -3dB
Übergangsbereich
Sperrbereich
fs
aS = 10 log kS

Filtervariationen

Ordnungszahl n

Ordnungszahl n
Grad des Nennerpolynoms n der Übertragungsfunktion (Pol)
Der Grad des Zählerpolynoms m eines Filters ist immer kleiner oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms
m ≤ n
Der Verlauf von \( \underline{a}_t(\omega) \) und φ_t(ω) wird von der Ordnungszahl bestimmt, den Polen und Nullstellen, den Koeffizienten.

\( \underline{T} (j\omega) = K \frac{(j \omega - s_{N1})(j \omega - s_{N2})...(j \omega - s_{Nm})} {(j \omega - s_{P1})(j \omega - s_{P2})...(j \omega - s_{Pn}) } \)

Tiefpass (Low pass)

Idealer Tiefpass
Realer Tiefpass

Realer Tiefpass

ω = 0
t(jω) > 0
keine Nullstelle
Grad des Zählerpolynoms kleiner als Grad des Nennerpolynoms
ω → ∞
t(jω) → 0
Ein Tiefpass erster Ordnung ist ein elementarer Tiefpass
Er enthält einen Kapazitiven oder induktiven Grundzweipol
Man erkennt einen Tiefpass in dem man die Ersatzschaltungen für ω=0 und ω → ∞ bildet.

Realer Tiefpass Schaltung

Betrachtung
ω = 0
ω → ∞

\( \underline{T}(j\omega) = \frac{\underline{I}_V (j\omega)} {\underline{I}_q (j\omega)} = \)

Realer Tiefpass Schaltung

Lösung
Normierung
Betrag (Maß) und Phase
Grenzfrequenz

Beispiel Tiefpass

In einem Netz sollen die Frequenzen im Bereich von f = 0 Hz bis f = 5 kHz gut übertragen und die Frequenzen f = f₂ = 20 kHz möglichst stark gedämpft werden.
Wir wollen überprüfen, wie diese Forderungen von einem Tiefpass 1. Ordnung erfüllt werden können.
Wie kann man den Tiefpass mit R und C dimensionieren.

Tiefpass_10k_01.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 32 96 -48 96
WIRE 176 96 112 96
WIRE 288 96 176 96
WIRE -48 128 -48 96
WIRE 176 128 176 96
WIRE -48 224 -48 208
WIRE 96 224 -48 224
WIRE 176 224 176 192
WIRE 176 224 96 224
WIRE 96 272 96 224
FLAG 96 272 0
FLAG 288 96 UR2
FLAG -48 96 U1
SYMBOL voltage -48 112 R0
WINDOW 123 24 132 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V1
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 128 80 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 10k
SYMBOL cap 160 128 R0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 3.2n
TEXT 128 248 Left 2 !.ac dec 20 1 1000000

\( \omega_g = \frac{1}{R C} \)
\( R C = \frac{1}{ 2 \pi f_g} \)
Größenordnung R und C:
10 Ω < R < 1 MΩ
1 pF < C < 500 µF

R = 10 kΩ
\( C = \frac{1}{2 \pi f_g R} = 3.2 nF \)

\( a_{v2} = 20 log \frac{}{C R} \frac{1}{\left| j 2 \pi f_2 + \frac{}{R C}\right|} = -12.3 dB \)

Ein Faktor von 4 entspricht 12 dB.

Beispiel Tiefpass LTSPICE

LTSPICE

SPICE  Netlist
V1 N001 0 AC 1 0
R1 N002 N001 1k
C1 N002 0 300n
R2 N002 0 1k
.ac dec 5 1 1000000

Schaltungsrealisierung

Tiefpass_10k.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 32 96 -48 96
WIRE 176 96 112 96
WIRE 288 96 176 96
WIRE 288 112 288 96
WIRE -48 128 -48 96
WIRE 176 128 176 96
WIRE -48 224 -48 208
WIRE 96 224 -48 224
WIRE 176 224 176 192
WIRE 176 224 96 224
WIRE 288 224 288 192
WIRE 288 224 176 224
WIRE 96 272 96 224
FLAG 96 272 0
FLAG 288 96 UR2
FLAG -48 96 U1
SYMBOL voltage -48 112 R0
WINDOW 123 24 132 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V1
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 128 80 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 1k
SYMBOL cap 160 128 R0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 22n
SYMBOL res 272 96 R0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value {Rx}
TEXT 128 248 Left 2 !.ac dec 20 1 1000000
TEXT -32 40 Left 2 !.step param Rx LIST 1k 10k 100k
TEXT 136 280 Left 2 !.param Rx 10k

Belasteter (R₂) Tiefpass ( R₁, C₁)

Ohmscher Spannungsteiler R1, R2:

\( U_{R2} = U_{1} \frac{R_2}{R_1 + R_2} = U_{1} 0.5 \)

\( a_v = 20 log \frac{U_{R2}}{U_{1}} = -6 dB \)

Übertragungsfunktion:
\( \underline{T} (j\omega) = \frac{\underline{U}_{R_2}}{\underline{U}_{1}} = \frac{\frac{1}{j \omega C_1 + \frac{1}{R_2}}}{R_1 + \frac{1}{j \omega C_1 + \frac{1}{R_2}}} = \frac{1}{R_1 \left( j \omega C_1 + \frac{1}{R_2} \right) + 1} = \frac{1}{ j \omega C_1 R_1 + \frac{R_1}{R_2} + 1} = \frac{1}{C_1 R_1} \frac{1}{ j \omega + \frac{1}{C_1 R_1} \left( 1 + \frac{R_1}{R_2}\right) } \)

Vergleicht man diesen Spannungsteiler mit einem unbelasteten RC-Tiefpass (Es fehlt R₂) verschiebt sich die Grenzfrequenz.
Achtung, wenn man einen Spannungsteiler belastet (Spannungsteiler, HP, TP, BP).

Grenzfrequenz:

\( f_{g1} = \frac{1}{2 \pi R_2 C_1} = 7.23 kHz \)
\( f_{g} = \frac{1}{2 \pi C_1} \left( \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_1} \right) = 14.47 kHz \)

Zusammenfassung und nächstes Mal

Filter
Tiefpass und Hochpass

21 Hochpass und Tiefpass

2022 GET 2 20 Filter Prof. Dr. Joerg Vollrath

Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

20 Filter

Prof. Dr. Jörg Vollrath

Video der 19. Vorlesung 8.6.2021

Inhalt Filternetze

Lautstärkepegel

Anwendungen

Lautsprecherweiche

Ziele

Ziele

Filtersystemsicht

Filter

Filtervariationen

Ordnungszahl n

Tiefpass (Low pass)

Realer Tiefpass

Realer Tiefpass Schaltung

Realer Tiefpass Schaltung

Beispiel Tiefpass

Beispiel Tiefpass LTSPICE

Zusammenfassung und nächstes Mal