Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2) 23 Transformator Prof. Dr. Jörg Vollrath 22 Bandpass und Bandsperre

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  Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik

Praktikum Transformator: Leerlauf

Leerlaufspannung der oberspannungsseite Ulos Leerlaufspannung der Unterspannungsseite Ulus Leerlaufstrom der Oberspannungsseite Ilos Leerlaufverluste der Oberspannungsseite Pvlos

Übersetzungsverhältnis \( ü = \frac{U_{los}}{U_{lus}} \) Leerlaufimpedanz Zlos Eisenverlustwiderstand RFEOS Hauptreaktanz XuOS Hauptinduktivität LuOS

Praktikum Transformator: Kurzschluss

Kurzschlussspannung der Oberspannungsseite Kurzschlussspannung der Unterspannungsseite Kurzschlussstrom der Oberspannungsseite Kurzschlussverluste der Oberspannungsseite

Kurzschlussimpedanz ZKos Kurzschlusswiderstand RkOS Kurzschlussreaktanz XKOS Kurzschlussinduktivität LkOS Kurzschlusswinkel fKOS

Rückblick Vierpol

• Es gibt verschiedene Matrizen:
• Widerstandsmatrix, Leitwertmatrix, Kettenmatrix
• Die Koeffizienten können durch Messung oder Rechnung bestimmt werden.
• Bei der Messung wird bei Kurzschluss oder Leerlauf eines Klemmenpaars, alle Ströme und Spannungen gemessen.
• Die Kettenmatrix einer Kettenschaltung von Vierpolen entsteht durch die Multiplikation der einzelnen Matrizen.
• Die Reihenfolge ist entscheidend.

Transformator als Vierpol: Inhalt

• Idealer Transformator
• Beispiele: Netztransformator, NF, HF Transformator
• Idealer Transformator
• Übersetzungsverhältnis: ü
• Impedanzwandler
• Leistungsbilanz
• Gegeninduktivität M
• Realer Transformator
• Kopplungsfaktor
• Streufaktor
• Ersatzschaltbilder
• Beispiele

Ziele

• Die Eigenschaften des idealen und realen Transformators kennenlernen
• Das Spannungs- und Stromübersetzungsverhältnis und die Impedanzwandlung kennen
• Ersatzschaltbilder entwickeln können
• Die Messung der Elemente des Ersatzschaltbildes eines Transformators
• Die Dimensionierung eines Transformators verstehen.

Idealer Transformator

\( \frac{u_1}{u_2} = \frac{N_1}{N_2} = ü \) \( \frac{i_1}{i_2} = \frac{N_2}{N_1} = - \frac{1}{ü} \) \( u_2 \cdot i_2 = u_1 \cdot i_1 \)

Punkte: Wicklungsrichtung Gleichsinnige Wicklung Galvanische Trennung Potenzialtrennung Verbraucherzählpfeilsystem

Elektrische Schaltbilder

Mit Kern	Mit Luftspalt im Kern	Lufttransformator
Gleichsinnige Wicklung	Verbraucher Pfeilsystem	Gegensinnige Wicklung

Leistungstransformator

Transformatoren: Leistungstransformator Signalübertrager

Idealer Transformator

Induktionsgesetz: \( u_1 = - N_1 \frac{d \Phi_h}{d t} \) \( u_1 = - N_2 \frac{d \Phi_h}{d t} \) \( \frac{u_1}{N_1} = \frac{u_2}{N_2} \) \( \frac{u_1}{u_2} = \frac{N_1}{N_2} = ü \) Durchflutungsgesetz 0 = N1 i1 + N2 i2 \( \frac{i_1}{i_2} = -\frac{N_2}{N_1} = -\frac{1}{ü} \)

Übersetzungsverhältnis

Verbraucher- Zählpfeilsystem

Erzeuger- Zählpfeilsystem

\( \frac{u_1}{u_2} = \frac{i_2}{i_1} = \frac{N_1}{N_2} = ü \)
Komplexe Schreibweise
\( \frac{\underline{U}_1}{\underline{U}_2} = \frac{\underline{I}_2}{\underline{I}_1} = \frac{N_1}{N_2} = ü \)

Eingangswiderstand: Impedanzwandler

\( R_1 = \frac{u_1}{i_1} = \frac{ü u_2}{-\frac{i_2}{ü}} \) \( R_1 = ü^2 \frac{- u_2}{i_2} = ü^2 R_2 \) Impedanzwandler Komplexe Rechnung \( \underline{Z}_1 = ü^2 \underline{Z}_2 \)

Leistungsbilanz

p₁= u₁ i₁ = p₂= u₂ i₂

Der ideale Transformator speichert keine Energie!
Schein-, Wirk- und Blindleistung sind beim idealen Transformator auf Primär- und Sekundärseite gleich (invariant)

S₁= U₁ I₁ = S₂ = U₂ I₂

\( \underline{S}_1= \underline{U}_1 \underline{I}_1^* = \underline{S}_2 = \underline{U}_2 \underline{I}_2^* \)

\( P_1 = Re\{\underline{S}_1\} = P2= Re\{\underline{S}_2\} \)
\( Q_1 = Im\{\underline{S}_1\} = Q_2 = Im\{ \underline{S}_2 \} \)

Beispiel: Anpassungsübertrager

Spannungsquelle: \( \underline{Z}_i = R_i + j \omega L_i \) Verbraucher R2 = 400 Ω Möglichst große Leistung aufnehmen Gesucht: ü=?, C=? Maximale Leistung: \( \underline{Z}_i = ü^2 \underline{Z}_a^* \) \( R_i = ü^2 R_2 \) \( ü = \sqrt{\frac{R_i}{R_2}} \) XL = - ü2 X C \( \omega; L_i = \frac{ü^2}{\omega C} \) \( C = \frac{ü^2}{\omega^2 L_i} \)

Verlust und streuungsfreieer Transformator

Fluß der Wicklung 1 und Fluß der Wicklung 2
Φ₁ = Φ₂ =Φ = Φ₁₁ + Φ₁₂ = Φ₂₁ + Φ₂₂
Φ₁₁ Fluß in der Wicklung 1 von i₁
Φ₁₂ Fluß in der Wicklung 1 von i₂

Definition der Induktivität
N φ = L i

Ergebnis: L₁, l₂ Selbstinduktivität, M gegeninduktivität
\( \frac{L_1}{N_1} i_1 + \frac{M}{N_2} i_2 = \frac{M}{N_2} i_1 + \frac{L_2}{N_2} i_2 \)

Koeffizienten für alle i1,i2 gleich \( \frac{L_1}{N_1} = \frac{M}{N_2} \) → \( M = \frac{N_2}{N_1} L_1 \) \( \frac{L_2}{N_2} = \frac{M}{N_1} \) → \( M = \frac{N_1}{N_2} L_2 \) \( \frac{L_1}{L_2} = \frac{N_1^2}{N_2^2} = ü^2 \) \( M^2 = L_1 L_2 \)

Kopplungs- und Streufaktor

Kopplungsfaktor

\( k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}} \)

k=1 Idealfall totaler Kopplung, fehlende Streuung

Sonst: 0 < k < 1

Streufaktor

\( \rho = 1 - k^2 = 1 -\frac{M^2}{L_1 L_2} \)

idealer Trabsformator: Ersatzschaltbild

Zusammenfassung und nächstes Mal

• Transformator

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