Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

23 Transformator

Prof. Dr. Jörg Vollrath

22 Bandpass und Bandsperre

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Bandsperre, Bandpass
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Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik

Rückblick Vierpol

Es gibt verschiedene Matrizen:
Widerstandsmatrix, Leitwertmatrix, Kettenmatrix
Die Koeffizienten können durch Messung oder Rechnung bestimmt werden.
Bei der Messung wird bei Kurzschluss oder Leerlauf eines Klemmenpaars, alle Ströme und Spannungen gemessen.
Die Kettenmatrix einer Kettenschaltung von Vierpolen entsteht durch die Multiplikation der einzelnen Matrizen.
Die Reihenfolge ist entscheidend.

Transformator als Vierpol: Inhalt

Idealer Transformator

Beispiele: Netztransformator, NF, HF Transformator

Idealer Transformator

Übersetzungsverhältnis: ü
Impedanzwandler
Leistungsbilanz
Gegeninduktivität M

Realer Transformator

Kopplungsfaktor
Streufaktor

Ersatzschaltbilder
Beispiele

Ziele

Die Eigenschaften des idealen und realen Transformators kennenlernen
Das Spannungs- und Stromübersetzungsverhältnis und die Impedanzwandlung kennen
Ersatzschaltbilder entwickeln können
Die Messung der Elemente des Ersatzschaltbildes eines Transformators
Die Dimensionierung eines Transformators verstehen.

Idealer Transformator

\( \frac{u_1}{u_2} = \frac{N_1}{N_2} = ü \)
\( \frac{i_1}{i_2} = \frac{N_2}{N_1} = - \frac{1}{ü} \)
\( u_2 \cdot i_2 = u_1 \cdot i_1 \)

Punkte: Wicklungsrichtung
Gleichsinnige Wicklung
Galvanische Trennung
Potenzialtrennung
Verbraucherzählpfeilsystem

Elektrische Schaltbilder

Mit Kern	Mit Luftspalt im Kern	Lufttransformator
Gleichsinnige Wicklung	Verbraucher Pfeilsystem	Gegensinnige Wicklung

Leistungstransformator

Transformatoren: Leistungstransformator Signalübertrager

Steckernetzteil (rechts 3.6W)
Schaltnetzteil (links, 20W)
Signalübertrager Ethernet TG110

Idealer Transformator

Induktionsgesetz:
\( u_1 = - N_1 \frac{d \Phi_h}{d t} \)
\( u_1 = - N_2 \frac{d \Phi_h}{d t} \)
\( \frac{u_1}{N_1} = \frac{u_2}{N_2} \)
\( \frac{u_1}{u_2} = \frac{N_1}{N_2} = ü \)
Durchflutungsgesetz
0 = N₁ i₁ + N₂ i₂

\( \frac{i_1}{i_2} = -\frac{N_2}{N_1} = -\frac{1}{ü} \)

Übersetzungsverhältnis

Verbraucher-
Zählpfeilsystem

Erzeuger-
Zählpfeilsystem

\( \frac{u_1}{u_2} = \frac{i_2}{i_1} = \frac{N_1}{N_2} = ü \)

Komplexe Schreibweise

\( \frac{\underline{U}_1}{\underline{U}_2} = \frac{\underline{I}_2}{\underline{I}_1} = \frac{N_1}{N_2} = ü \)

Eingangswiderstand: Impedanzwandler

\( R_1 = \frac{u_1}{i_1} = \frac{ü u_2}{-\frac{i_2}{ü}} \)
\( R_1 = ü^2 \frac{- u_2}{i_2} = ü^2 R_2 \)

Impedanzwandler

Komplexe Rechnung

\( \underline{Z}_1 = ü^2 \underline{Z}_2 \)

Leistungsbilanz

p₁= u₁ i₁ = p₂= u₂ i₂

Der ideale Transformator speichert keine Energie!
Schein-, Wirk- und Blindleistung sind beim idealen Transformator auf Primär- und Sekundärseite gleich (invariant)

S₁= U₁ I₁ = S₂ = U₂ I₂

\( \underline{S}_1= \underline{U}_1 \underline{I}_1^* = \underline{S}_2 = \underline{U}_2 \underline{I}_2^* \)

\( P_1 = Re\{\underline{S}_1\} = P2= Re\{\underline{S}_2\} \)
\( Q_1 = Im\{\underline{S}_1\} = Q_2 = Im\{ \underline{S}_2 \} \)

Beispiel: Anpassungsübertrager

Spannungsquelle:
\( \underline{Z}_i = R_i + j \omega L_i \)
Verbraucher R₂ = 400 Ω
Möglichst große Leistung aufnehmen
Gesucht: ü=?, C=?

Verlust und streuungsfreier Transformator

Fluß der Wicklung 1 und Fluß der Wicklung 2
Φ₁ = Φ₂ =Φ = Φ₁₁ + Φ₁₂ = Φ₂₁ + Φ₂₂
Φ₁₁ Fluß in der Wicklung 1 von i₁
Φ₁₂ Fluß in der Wicklung 1 von i₂

Definition der Induktivität
N φ = L i

Ergebnis: L₁, l₂ Selbstinduktivität, M gegeninduktivität
\( \frac{L_1}{N_1} i_1 + \frac{M}{N_1} i_2 = \frac{M}{N_2} i_1 + \frac{L_2}{N_2} i_2 \)

Koeffizienten für alle i₁,i₂ gleich
\( \frac{L_1}{N_1} = \frac{M}{N_2} \) → \( M = \frac{N_2}{N_1} L_1 \)
\( \frac{L_2}{N_2} = \frac{M}{N_1} \) → \( M = \frac{N_1}{N_2} L_2 \)
\( \frac{L_1}{L_2} = \frac{N_1^2}{N_2^2} = ü^2 \)

\( M^2 = L_1 L_2 \)

Kopplungs- und Streufaktor

Kopplungsfaktor

\( k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}} \)

k=1 Idealfall totaler Kopplung, fehlende Streuung

Sonst: 0 < k < 1

Streufaktor

\( \rho = 1 - k^2 = 1 -\frac{M^2}{L_1 L_2} \)

Induktivität

Induktivität einer Spule auf einem Transformatorenkern

\( L_1 = \frac{ \mu_r \cdot \mu_0 \cdot A_E \cdot N_1^2}{l_e} \)

µ_r, µ₀: relative und absolute Permeabilität
A_E: Fläche des Transformatorenkerns
N₁: Anzahl der Wicklungen
l_E: mittlere Weglänge im Transformatorenkern

\( L_{21} = M = \frac{ \mu_r \cdot \mu_0 \cdot A_E \cdot N_1 \cdot N_2}{l_e} \)

Idealer Transformator:Ersatzschaltbild

\( u_1(t) = L_1 \cdot \frac{d i_1}{dt} + M \cdot \frac{d i_2}{dt} \)

\( u_2(t) = M \cdot \frac{d i_1}{dt} + L_2 \cdot \frac{d i_2}{dt} \)

Für sinusförmige Größen ergibt sich im komplexen:

\( \underline{U}_1 ( \omega ) = j \omega L_1 \cdot \underline{I}_1 + j \omega M \cdot \underline{I}_2 \)

\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega M \cdot \underline{I}_1 + j \omega L_2 \cdot \underline{I}_2 \)

Teil4.pdf, Universität Stuttgart
Ein Magnetstrom i(t) erzeugt eine Feldstärke H und im Transformatorenkern eine magnetische Flussdichte B und einen Fluss Φ.

Magnetisch gekoppelte Spulen

\( \underline{U}_1 ( \omega ) = j \omega L_1 \cdot \underline{I}_1 + j \omega M \cdot \underline{I}_2 \)

\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega M \cdot \underline{I}_1 + j \omega L_2 \cdot \underline{I}_2 \)

\( \underline{U}_1 ( \omega ) = j \omega (L_1 - M) \cdot \underline{I}_1 + j \omega M \cdot (\underline{I}_2 + \underline{I}_1) \)

\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega (L_2 - M) \cdot \underline{I}_2 + j \omega M \cdot (\underline{I}_2 + \underline{I}_1) \)

Bekommt man mit diesem Ersatzschaltbild ein Spannungsverhältnis?

\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega M \cdot \underline{I}_1 + j \omega L_2 \cdot \underline{I}_2 \)

Einsetzen von j ω M ergibt:

\( \underline{U}_2 ( \omega ) = \frac{M}{L_1} \left( \underline{U}_1 - j \omega M \cdot \underline{I}_2 \right) + j \omega L_2 \cdot \underline{I}_2 \)

\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega \cdot \underline{I}_2 \left( L_2 - \frac{M^2}{L_1}\right) + \frac{M}{L_1} \underline{U}_1 \)

mit k=1 und M² = L₁ L₂

\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega \cdot \underline{I}_2 \left( L_2 - \frac{L_1 L_2}{L_1}\right) + \frac{\sqrt{L_1 L_2}}{L_1} \underline{U}_1 \)

mit \( v = ü = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}} \) ergibt sich:

\( \underline{U}_2 = \frac{\underline{U}_1}{ ü } \)

Berechnung: Transformator Ersatzschaltbild

L₁	mH	10	10	10	40	250
L₂	mH	10	40	250	10	10
\( M = \sqrt{L_1 \cdot L_2} \)	mH	10	20	50	20	50
\( ü = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}}\)		1	0.5	0.2	2	5
L₂ - M	mH	0	-10	-40	20	200
L₂ - M	mH	0	20	200	-10	-40
U₁	V	10	10	10	10	10
U₂	V	10	20	50	5	2

Realer Transformator

T-Ersatzschaltbild

2 Drahtwickelungen um einen Eisenkern
Kopplung durch einen magnetischen Fluss
ü: Übersetzungsverhältnis
L_1σ = ü²L_2σ: Streuinduktivitäten
L_1h: Hauptinduktivität
R_E: Eisenverluste
R₁, R₂: Wicklungswiderstand

Zusammenfassung und nächstes Mal

Idealer Transformator
\( \frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} = ü = \frac{I_2}{I_1}\)
P = U₁ · I₁ = U₂ · I₂
Anpassungsübertrager
\( \underline{Z}_1 = ü^2 \underline{Z}_2 \)
Kopplungsfaktor: \( k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}} \) Streufaktor
Induktivität
Realer Transformator

Wicklungswiderstand, Streuinduktivität, Eisenverluste

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Video der 19. Vorlesung 8.6.2021

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Elektrische Schaltbilder

Leistungstransformator

Transformatoren: Leistungstransformator Signalübertrager

Idealer Transformator

Übersetzungsverhältnis

Eingangswiderstand: Impedanzwandler

Leistungsbilanz

Beispiel: Anpassungsübertrager

Verlust und streuungsfreier Transformator

Kopplungs- und Streufaktor

Induktivität

Idealer Transformator:Ersatzschaltbild

Magnetisch gekoppelte Spulen

Berechnung: Transformator Ersatzschaltbild

Realer Transformator

T-Ersatzschaltbild

Zusammenfassung und nächstes Mal