Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)23 TransformatorProf. Dr. Jörg Vollrath22 Bandpass und Bandsperre |
|
Idealer Transformator
 \( \frac{u_1}{u_2} = \frac{N_1}{N_2} = ü \) \( \frac{i_1}{i_2} = \frac{N_2}{N_1} = - \frac{1}{ü} \) \( u_2 \cdot i_2 = u_1 \cdot i_1 \) |
 Punkte: Wicklungsrichtung Gleichsinnige Wicklung Galvanische Trennung Potenzialtrennung Verbraucherzählpfeilsystem |
Elektrische Schaltbilder
 Mit Kern |
 Mit Luftspalt im Kern |
 Lufttransformator | |
 Gleichsinnige Wicklung | Verbraucher Pfeilsystem |
 Gegensinnige Wicklung |
Leistungstransformator
Transformatoren: Leistungstransformator Signalübertrager
Steckernetzteil (rechts 3.6W)
Schaltnetzteil (links, 20W)
Signalübertrager Ethernet TG110
Schaltnetzteil (links, 20W)
Signalübertrager Ethernet TG110
Idealer Transformator
|
 |
Übersetzungsverhältnis
|
Verbraucher- Zählpfeilsystem | 
| Erzeuger- Zählpfeilsystem |
\( \frac{u_1}{u_2} = \frac{i_2}{i_1} = \frac{N_1}{N_2} = ü \)
Komplexe Schreibweise
\( \frac{\underline{U}_1}{\underline{U}_2} = \frac{\underline{I}_2}{\underline{I}_1} = \frac{N_1}{N_2} = ü \)
Eingangswiderstand: Impedanzwandler
|
\( R_1 = \frac{u_1}{i_1} = \frac{ü u_2}{-\frac{i_2}{ü}} \) \( R_1 = ü^2 \frac{- u_2}{i_2} = ü^2 R_2 \) Impedanzwandler Komplexe Rechnung \( \underline{Z}_1 = ü^2 \underline{Z}_2 \) |
  |
Beispiel: Anpassungsübertrager
|
Spannungsquelle: \( \underline{Z}_i = R_i + j \omega L_i \) Verbraucher R2 = 400 Ω Möglichst große Leistung aufnehmen Gesucht: ü=?, C=? |
 |
Verlust und streuungsfreier Transformator
Fluß der Wicklung 1 und Fluß der Wicklung 2
Φ1 = Φ2 =Φ = Φ11 + Φ12 = Φ21 + Φ22
Φ11 Fluß in der Wicklung 1 von i1
Φ12 Fluß in der Wicklung 1 von i2
Definition der Induktivität
N φ = L i
Ergebnis: L1, l2 Selbstinduktivität, M Gegeninduktivität
\( \frac{L_1}{N_1} i_1 + \frac{M}{N_1} i_2 = \frac{M}{N_2} i_1 + \frac{L_2}{N_2} i_2 \)
|
Koeffizienten für alle i1,i2 gleich \( \frac{L_1}{N_1} = \frac{M}{N_2} \) → \( M = \frac{N_2}{N_1} L_1 \) \( \frac{L_2}{N_2} = \frac{M}{N_1} \) → \( M = \frac{N_1}{N_2} L_2 \) \( \frac{L_1}{L_2} = \frac{N_1^2}{N_2^2} = ü^2 \)
|
|
Idealer Transformator:Ersatzschaltbild
\( u_1(t) = L_1 \cdot \frac{d i_1}{dt} + M \cdot \frac{d i_2}{dt} \)
\( u_2(t) = M \cdot \frac{d i_1}{dt} + L_2 \cdot \frac{d i_2}{dt} \)
Für sinusförmige Größen ergibt sich im komplexen:
\( \underline{U}_1 ( \omega ) = j \omega L_1 \cdot \underline{I}_1 + j \omega M \cdot \underline{I}_2 \)
\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega M \cdot \underline{I}_1 + j \omega L_2 \cdot \underline{I}_2 \)
Teil4.pdf, Universität Stuttgart
Ein Magnetstrom i(t) erzeugt eine Feldstärke H und im Transformatorenkern eine magnetische Flussdichte B und einen Fluss Φ.
Ein Magnetstrom i(t) erzeugt eine Feldstärke H und im Transformatorenkern eine magnetische Flussdichte B und einen Fluss Φ.
Magnetisch gekoppelte Spulen
\( \underline{U}_1 ( \omega ) = j \omega L_1 \cdot \underline{I}_1 + j \omega M \cdot \underline{I}_2 \)
\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega M \cdot \underline{I}_1 + j \omega L_2 \cdot \underline{I}_2 \)
\( \underline{U}_1 ( \omega ) = j \omega (L_1 - M) \cdot \underline{I}_1 + j \omega M \cdot (\underline{I}_2 + \underline{I}_1) \)
\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega (L_2 - M) \cdot \underline{I}_2 + j \omega M \cdot (\underline{I}_2 + \underline{I}_1) \)
Bekommt man mit diesem Ersatzschaltbild ein Spannungsverhältnis?
\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega M \cdot \underline{I}_1 + j \omega L_2 \cdot \underline{I}_2 \)
Einsetzen von j ω M ergibt:
\( \underline{U}_2 ( \omega ) = \frac{M}{L_1} \left( \underline{U}_1 - j \omega M \cdot \underline{I}_2 \right) + j \omega L_2 \cdot \underline{I}_2 \)
\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega \cdot \underline{I}_2 \left( L_2 - \frac{M^2}{L_1}\right) + \frac{M}{L_1} \underline{U}_1 \)
mit k=1 und M2 = L1 L2
\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega \cdot \underline{I}_2 \left( L_2 - \frac{L_1 L_2}{L_1}\right) + \frac{\sqrt{L_1 L_2}}{L_1} \underline{U}_1 \)
mit \( v = ü = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}} \) ergibt sich:
\( \underline{U}_2 = \frac{\underline{U}_1}{ ü } \)
\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega M \cdot \underline{I}_1 + j \omega L_2 \cdot \underline{I}_2 \)
Einsetzen von j ω M ergibt:
\( \underline{U}_2 ( \omega ) = \frac{M}{L_1} \left( \underline{U}_1 - j \omega M \cdot \underline{I}_2 \right) + j \omega L_2 \cdot \underline{I}_2 \)
\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega \cdot \underline{I}_2 \left( L_2 - \frac{M^2}{L_1}\right) + \frac{M}{L_1} \underline{U}_1 \)
mit k=1 und M2 = L1 L2
\( \underline{U}_2 ( \omega ) = j \omega \cdot \underline{I}_2 \left( L_2 - \frac{L_1 L_2}{L_1}\right) + \frac{\sqrt{L_1 L_2}}{L_1} \underline{U}_1 \)
mit \( v = ü = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}} \) ergibt sich:
\( \underline{U}_2 = \frac{\underline{U}_1}{ ü } \)
Berechnung: Transformator Ersatzschaltbild
| L1 | mH | 10 | 10 | 10 | 40 | 250 |
| L2 | mH | 10 | 40 | 250 | 10 | 10 |
| \( M = \sqrt{L_1 \cdot L_2} \) | mH | 10 | 20 | 50 | 20 | 50 |
| \( ü = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}}\) | 1 | 0.5 | 0.2 | 2 | 5 | |
| L1 - M | mH | 0 | -10 | -40 | 20 | 200 |
| L2 - M | mH | 0 | 20 | 200 | -10 | -40 |
| U1 | V | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
| U2 | V | 10 | 20 | 50 | 5 | 2 |
Eine negative Induktivität kann man im komplexen als Kapazität darstellen.
Deshalb ergibt sich obiges Ersatzschaltbild.
In der Zeitsimulation sieht man bei der gewählten Frequenz von 140kHz, wie aus einer Amplitude u1 = 0.4 V am Ausgang des Transformators und am Ausgang der Ersatzschaltung mit Kondensator und Spule u2 = u4 = 1 V zu beobachten ist.
In der AC Simulation sieht man die Resonanz des Ersatzschaltkreises.
Durch die Strombelastung bei Resonanz verringert sich u1 und damit u2 und u4.
In der Zeitsimulation sieht man bei der gewählten Frequenz von 140kHz, wie aus einer Amplitude u1 = 0.4 V am Ausgang des Transformators und am Ausgang der Ersatzschaltung mit Kondensator und Spule u2 = u4 = 1 V zu beobachten ist.
In der AC Simulation sieht man die Resonanz des Ersatzschaltkreises.
Durch die Strombelastung bei Resonanz verringert sich u1 und damit u2 und u4.
Realer Transformator
T-Ersatzschaltbild
|
|