Video GET2 01 Einführung kompakt
Video der 19. Vorlesung 8.6.2021
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Länge: 1:22:04
Übersicht
Tiefpass
Hochpass
Bandpass
Bandsperre
Bandpass
Ein Netz, das bei tiefen und hohen Frequenzen je einen Sperrbereich hat.
Bei mittleren Frequenzen gibt es einen Durchlassbereich.
Es gibt also 2 Grenzfrequenzen.
Untere Grenzfrequenz (lower cutoff frequency) fgu trennt
bei tiefen Frequenzen Sperr- und Durchlassbereich
Obere Grenzfrequenz (upper cutoff frequency) fgo trennt
bei hohen Frequenzen Sperr- und Durchlassbereich
Durchlassbereich zwischen den beiden Grenzfrequenzen
Die Differenz wird als Bandbreite (bandwidth) bf bezeichnet.
bf = fgo - fgu
Manchmal wird auch bω = 2 π bf
als Bandbreite bezeichnet
Elementarer Bandpass
Kombination Tiefpass und Hochpass
ω → 0
C Unterbrechung L Kurzschluss
ω → ∞
C Kurzschluss L Unterbrechung
ωr Resonanzkreisfrequenz
Widerstandskombination L und C ist Null
P = Pmax
Überlegung für Reihenschaltung und Parallelschaltung
Übertragungsfunktion Reihenschaltung
\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{\underline{U}_V(j\omega)}{\underline{U}_q(j\omega)}
= \frac{R_2}{R_1+R_2+ j\omega L +\frac{1}{j\omega C}}
= \frac{R_2}{R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)} \)
\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2 j\omega C }
{(R_1+R_2) j\omega C + (j\omega)^2 L C +1} \)
\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2}{L} \frac{j\omega}
{(j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC}} \)
Eine Nullstelle: sn0 = 0
2 Pole
Mindestanforderung für einen Bandpass erfüllt
Resonanz, Schwingkreis
Man hat Potenzen von jω oben und unten stehen.
Die Potenzen sind geordnet und die höchste Potenz hat keinen Vorfaktor.
Für die Polstellen muss man die Nullstellen der quadratischen Gleichung suchen.
Übertragungsfunktion Reihenschaltung Polstellen
\( (j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC} = 0 \)
\( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm
\sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}} \)
Beispielwerte und Darstellung:
L / mH C / uF R1 / Ω R2 / Ω
\( \frac{R_1 + R_2}{2 L} \) / s-1
\( \frac{1}{\sqrt{C L}} \) / s-2
\( \sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}} \) / s-2
2.2 72 25 25 11364 2513 11082
220 0.72 25 25 113.64 2513 j2510
220 0.72 125 125 340.9 2513 j2489
Grafische Übertragungsfunktion Reihenschaltung
\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2}{L} \frac{j\omega}
{(j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC}}
= \frac{R_2}{L} \frac{j\omega}
{(j\omega - \omega_1) (j\omega - \omega_2) } \)
\( a(ω) = 20 * log |\underline{T} (j\omega )|
= 20 * log \frac{R_2}{L} + 20 * log \omega
- 20 log ( \sqrt{ \left( \frac{1}{LC} - \omega^2 \right)^2 + \left( \frac{R_1+R_2}{L} \omega \right)^2})
\)
Breitbandig, Schmalbandig, Mittenfrequenz
Ein Netz kann
Breitbandig
gleiche Größenordnung bf , fgo , fgu
Beispiel: bf =1Mhz, fgo =2Mhz, fgu =1Mhz
oder Schmalbandig
Grenzfrequenz wesentlich größer als Bandbreite: bf < fgo ,
fgu
Beispiel: bf =1Mhz, fgo =10Mhz, fgu =9Mhz
Bandmittenfrequenz fm
Geometrisches Mittel
\( f_m = \sqrt{f_{go} f_{gu} } \)
Relative Bandbreite
\( d = \frac{b_f}{f_m} = \frac{b_\omega}{\omega_m} \)
Charakteristische Gleichung
Reihenschwingkreis Polstellen:
\( (j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC} = 0 \)
2 unterschiedliche Lösungen
\( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm
\sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}} \)
Eine reelle Doppellösung
\( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \)
Zwei konjugiert komplexe Lösungen
\( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm
j \sqrt{ \left( \frac{1}{LC} - \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2} \)
Bandbreite
Bestimmung der 3 dB Eckfrequenzen
\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{\underline{U}_V(j\omega)}{\underline{U}_q(j\omega)}
= \frac{R_2}{R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)} \)
\( R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right) = R \cdot (1 \pm j) \)
\( \omega L - \frac{1}{\omega C} = \pm R \)
\( \omega^2 \pm \omega \frac{R_1 + R_2}{ L} - \frac{1}{L C} = 0 \)
\( \omega = \pm \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)
4 Lösungen, 2 kleiner Null.
Bandbreite Lösung
\( \omega = \pm \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)
4 Lösungen, 2 kleiner Null.
\( \omega_{go} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)
\( \omega_{gu} = - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)
\( \omega_{go} - \omega_{gu} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}}
- \left( - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right)\)
\( \omega_{go} - \omega_{gu} = 2 \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} = \frac{R_1 + R_2}{ L} \)
Mittenfrequenz Lösung
\( \omega_{go} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)
\( \omega_{gu} = - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)
\( \omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right)
\cdot \left( - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right) \)
\( \omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2
+ \frac{1}{ L C} - \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2L} \right)^2
= \frac{1}{ L C} = \omega_r^2 \)
\( \omega_r^2 = \omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \frac{1}{ L C} \)
Güte
Güte Q ist das Verhältnis von Resonanzfrequenz, Mittenfrequenz und Bandbreite
\( Q = \frac{\omega_r}{b_{\omega}} = \frac{\omega_r}{\omega_o - \omega_u}
= \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \)
Je kleiner die Bandbreite, desto größer die Güte.
Die Güte ist Einheitslos
Beispielwerte Reihenschwingkreis
L / mH C / uF R1 / Ω R2 / Ω
2.2 72 25 25
220 0.72 25 25
220 0.72 125 125
Bestimmen Sie für die obigen Werte eines Reihenschwingkreises Eckfrequenzen,
Mittenfrequenz, Bandbreite und Güte.
Zusammenfassung und nächstes Mal
Bandpass
Obere und untere Eckfrequenz, Bandbreite
Mittenfrequenz
Güte
23 Transformator