Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

22 Bandpass und Bandsperre

Prof. Dr. Jörg Vollrath

Übersicht

Tiefpass
Hochpass
Bandpass
Bandsperre

Bandpass

Ein Netz, das bei tiefen und hohen Frequenzen je einen Sperrbereich hat. Bei mittleren Frequenzen gibt es einen Durchlassbereich. Es gibt also 2 Grenzfrequenzen.
Untere Grenzfrequenz (lower cutoff frequency) f_gu trennt bei tiefen Frequenzen Sperr- und Durchlassbereich
Obere Grenzfrequenz (upper cutoff frequency) f_go trennt bei hohen Frequenzen Sperr- und Durchlassbereich

Durchlassbereich zwischen den beiden Grenzfrequenzen
Die Differenz wird als Bandbreite (bandwidth) b_f bezeichnet.
b_f = f_go - f_gu
Manchmal wird auch b_ω = 2 π b_f als Bandbreite bezeichnet

Elementarer Bandpass

Kombination Tiefpass und Hochpass
ω → 0

C Unterbrechung
L Kurzschluss

ω → ∞

C Kurzschluss
L Unterbrechung

ω_r Resonanzkreisfrequenz

Widerstandskombination L und C ist Null
P = P_max

Überlegung für Reihenschaltung und Parallelschaltung

Bandpass.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE -16 96 -48 96
WIRE 32 96 -16 96
WIRE 128 96 112 96
WIRE 224 96 192 96
WIRE 368 96 304 96
WIRE 416 96 368 96
WIRE 416 112 416 96
WIRE -48 128 -48 96
WIRE -48 224 -48 208
WIRE 96 224 -48 224
WIRE 416 224 416 192
WIRE 416 224 96 224
WIRE 96 240 96 224
WIRE 32 320 -64 320
WIRE 112 320 32 320
WIRE 240 320 112 320
WIRE 368 320 240 320
WIRE 416 320 368 320
WIRE 240 336 240 320
WIRE -64 352 -64 320
WIRE 32 352 32 320
WIRE 112 352 112 320
WIRE 416 368 416 320
WIRE -64 448 -64 432
WIRE 32 448 32 432
WIRE 32 448 -64 448
WIRE 112 448 112 416
WIRE 112 448 32 448
WIRE 224 448 112 448
WIRE 240 448 240 416
WIRE 240 448 224 448
WIRE 416 448 240 448
WIRE 224 464 224 448
FLAG 96 240 0
FLAG -16 96 Uq
FLAG 368 96 Uv1
FLAG 224 464 0
FLAG 368 320 Uv2
SYMBOL voltage -48 112 R0
WINDOW 123 29 93 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V1
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 128 80 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 1k
SYMBOL cap 192 80 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 22n
SYMBOL res 400 96 R0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 1k
SYMBOL res 48 448 R180
WINDOW 0 36 76 Left 2
WINDOW 3 36 40 Left 2
SYMATTR InstName R3
SYMATTR Value 1k
SYMBOL res 400 352 R0
SYMATTR InstName R4
SYMATTR Value 1k
SYMBOL current -64 432 R180
WINDOW 0 24 80 Left 2
WINDOW 3 24 0 Left 2
WINDOW 123 24 -28 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR InstName I1
SYMATTR Value 10�
SYMATTR Value2 AC 1m
SYMBOL ind 224 320 R0
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 40m
SYMBOL ind 320 80 R90
WINDOW 0 5 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName L2
SYMATTR Value 40m
SYMBOL cap 96 352 R0
SYMATTR InstName C2
SYMATTR Value 22n
TEXT 128 248 Left 2 !.ac dec 20 1 1000000
TEXT -128 152 Left 2 ;Uq
TEXT 312 144 Left 2 ;Uv
TEXT 312 368 Left 2 ;Uv
TEXT -48 288 Left 2 ;Iq
TEXT 440 336 Left 2 ;Iv
LINE Normal -96 208 -96 112
LINE Normal -80 192 -96 208
LINE Normal -96 208 -112 192
LINE Normal 344 200 344 104
LINE Normal 360 184 344 200
LINE Normal 344 200 328 184
LINE Normal 344 424 344 328
LINE Normal 360 408 344 424
LINE Normal 344 424 328 408
LINE Normal -16 320 -32 304
LINE Normal -32 336 -16 320
LINE Normal 416 352 400 336
LINE Normal 432 336 416 352

Übertragungsfunktion Reihenschaltung

$\underline{T} (j\omega ) = \frac{\underline{U}_V(j\omega)}{\underline{U}_q(j\omega)} = \frac{R_2}{R_1+R_2+ j\omega L +\frac{1}{j\omega C}} = \frac{R_2}{R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)}$

$\underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2 j\omega C } {(R_1+R_2) j\omega C + (j\omega)^2 L C +1}$

$\underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2}{L} \frac{j\omega} {(j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC}}$

Eine Nullstelle: s_n0 = 0
2 Pole
Mindestanforderung für einen Bandpass erfüllt
Resonanz, Schwingkreis

Zur Untersuchung der Schaltung wird die Übertragungsfunktion aufgestellt.
Die Übertragungsfunktion hah Nullstellen (Zähler) und Polstellen (Nenner).
Man hat Potenzen von jω oben und unten stehen.
Die Potenzen sind geordnet und die höchste Potenz hat keinen Vorfaktor.
Für die Polstellen muss man die Nullstellen der quadratischen Gleichung suchen.

Übertragungsfunktion Reihenschaltung: Polstellen

$(j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC} = 0$

$(j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}}$

Beispielwerte und Darstellung:

L / mH	C / uF	R1 / Ω	R2 / Ω	$\frac{R_1 + R_2}{2 L}$ / s^-1	$\frac{1}{\sqrt{C L}}$ / s^-2	$\sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}}$ / s^-2
2.2	72	25	25	11364	2513	11082
220	0.72	25	25	113.64	2513	j2510
220	0.72	125	125	340.9	2513	j2489

Es kann eine oder zwei reelle Lösungen oder komplexe Lösungen geben.
Wie sieht die Übertragungsfunktion für komplexe Lösungen aus?

Grafische Übertragungsfunktion Reihenschaltung

$\underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2}{L} \frac{j\omega} {(j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC}} = \frac{R_2}{L} \frac{j\omega} {(j\omega - \omega_1) (j\omega - \omega_2) }$

$a(ω) = 20 * log |\underline{T} (j\omega )| = 20 * log \frac{R_2}{L} + 20 * log \omega - 20 log ( \sqrt{ \left( \frac{1}{LC} - \omega^2 \right)^2 + \left( \frac{R_1+R_2}{L} \omega \right)^2})$

Excel: Bandpass

LTSPICE:
Aus welchen Teilfunktionen ergibt sich die Übertragungsfunktion?

Bandpass_RLC.asc

Version 4
SHEET 1 1480 680
WIRE 64 32 48 32
WIRE 112 32 64 32
WIRE 208 32 192 32
WIRE 224 32 208 32
WIRE 320 32 304 32
WIRE 336 32 320 32
WIRE 432 32 400 32
WIRE 560 32 544 32
WIRE 608 32 560 32
WIRE 704 32 688 32
WIRE 720 32 704 32
WIRE 928 32 800 32
WIRE 1056 32 1040 32
WIRE 1104 32 1056 32
WIRE 1312 32 1184 32
WIRE 1328 32 1312 32
WIRE 1424 32 1392 32
WIRE 432 48 432 32
WIRE 928 48 928 32
WIRE 1424 48 1424 32
WIRE 48 64 48 32
WIRE 544 64 544 32
WIRE 1040 64 1040 32
WIRE 224 144 48 144
WIRE 432 144 432 128
WIRE 432 144 224 144
WIRE 720 144 544 144
WIRE 928 144 928 128
WIRE 928 144 720 144
WIRE 1216 144 1040 144
WIRE 1424 144 1424 128
WIRE 1424 144 1216 144
WIRE 224 160 224 144
WIRE 720 160 720 144
WIRE 1216 160 1216 144
FLAG 224 160 0
FLAG 432 32 Uv
FLAG 320 32 UC
FLAG 208 32 UL
FLAG 64 32 U1
FLAG 720 160 0
FLAG 928 32 UvL
FLAG 704 32 ULL
FLAG 560 32 U1L
FLAG 1216 160 0
FLAG 1424 32 UvC
FLAG 1312 32 UCC
FLAG 1056 32 U1C
SYMBOL voltage 48 48 R0
WINDOW 123 24 132 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V1
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 208 16 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 25
SYMBOL ind 320 16 R90
WINDOW 0 5 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 220m
SYMBOL cap 400 16 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 0.72�
SYMBOL res 416 32 R0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 25
SYMBOL voltage 544 48 R0
WINDOW 123 24 132 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V2
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 704 16 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R3
SYMATTR Value 25
SYMBOL ind 816 16 R90
WINDOW 0 5 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName L2
SYMATTR Value 220m
SYMBOL res 912 32 R0
SYMATTR InstName R4
SYMATTR Value 25
SYMBOL voltage 1040 48 R0
WINDOW 123 24 132 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V3
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 1200 16 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R5
SYMATTR Value 25
SYMBOL cap 1392 16 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C2
SYMATTR Value 0.72�
SYMBOL res 1408 32 R0
SYMATTR InstName R6
SYMATTR Value 25
TEXT 280 184 Left 2 !.ac dec 10000 1 10000
TEXT 432 -8 Left 2 !;tran 4m

Man sieht wie sich die Gesamtfunktion aus den Teilfunktionen zusammen setzt.
Wenn der Imaginärteil des komplexen Widerstandes Null wird, tritt Resonanz auf.
Eine Spannungsüberhöhung kann an L und C auftreten.
Im Übergangsbereich kann sich die Übertragungsfunktion mit mehr als 20 dB/Dekade ändern.

Bandpass_01.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 128 -448 32 -448
WIRE 240 -448 208 -448
WIRE 352 -448 320 -448
WIRE 448 -448 416 -448
WIRE 32 -416 32 -448
WIRE 448 -416 448 -448
WIRE 32 -304 32 -336
WIRE 160 -304 32 -304
WIRE 448 -304 448 -336
WIRE 448 -304 160 -304
WIRE 160 -272 160 -304
WIRE 128 -192 32 -192
WIRE 240 -192 208 -192
WIRE 352 -192 320 -192
WIRE 448 -192 416 -192
WIRE 32 -160 32 -192
WIRE 448 -160 448 -192
WIRE 32 -48 32 -80
WIRE 160 -48 32 -48
WIRE 448 -48 448 -80
WIRE 448 -48 160 -48
WIRE 160 -16 160 -48
WIRE 144 80 48 80
WIRE 256 80 224 80
WIRE 368 80 336 80
WIRE 464 80 432 80
WIRE 48 112 48 80
WIRE 464 112 464 80
WIRE 48 224 48 192
WIRE 176 224 48 224
WIRE 464 224 464 192
WIRE 464 224 176 224
WIRE 176 256 176 224
FLAG 176 256 0
FLAG 464 80 Uc
FLAG 160 -16 0
FLAG 448 -192 Ub
FLAG 160 -272 0
FLAG 448 -448 Ua
SYMBOL voltage 48 96 R0
WINDOW 123 24 132 Left 0
WINDOW 39 0 0 Left 0
SYMATTR Value2 AC 1
SYMATTR InstName V1
SYMATTR Value 1
SYMBOL res 240 64 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 0
WINDOW 3 32 56 VTop 0
SYMATTR InstName Ri
SYMATTR Value 125
SYMBOL ind 352 64 R90
WINDOW 0 5 56 VBottom 0
WINDOW 3 32 56 VTop 0
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 220m
SYMBOL cap 432 64 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 0
WINDOW 3 32 32 VTop 0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 0.72�
SYMBOL res 448 96 R0
SYMATTR InstName RV
SYMATTR Value 125
SYMBOL voltage 32 -176 R0
WINDOW 123 24 132 Left 0
WINDOW 39 0 0 Left 0
SYMATTR Value2 AC 1
SYMATTR InstName V2
SYMATTR Value 1
SYMBOL res 224 -208 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 0
WINDOW 3 32 56 VTop 0
SYMATTR InstName Ri1
SYMATTR Value 25
SYMBOL ind 336 -208 R90
WINDOW 0 5 56 VBottom 0
WINDOW 3 32 56 VTop 0
SYMATTR InstName L2
SYMATTR Value 220m
SYMBOL cap 416 -208 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 0
WINDOW 3 32 32 VTop 0
SYMATTR InstName C2
SYMATTR Value 0.72�
SYMBOL res 432 -176 R0
SYMATTR InstName RV1
SYMATTR Value 25
SYMBOL voltage 32 -432 R0
WINDOW 123 24 132 Left 0
WINDOW 39 0 0 Left 0
SYMATTR Value2 AC 1
SYMATTR InstName V3
SYMATTR Value 1
SYMBOL res 224 -464 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 0
WINDOW 3 32 56 VTop 0
SYMATTR InstName Ri2
SYMATTR Value 25
SYMBOL ind 336 -464 R90
WINDOW 0 5 56 VBottom 0
WINDOW 3 32 56 VTop 0
SYMATTR InstName L3
SYMATTR Value 2.2m
SYMBOL cap 416 -464 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 0
WINDOW 3 32 32 VTop 0
SYMATTR InstName C3
SYMATTR Value 72�
SYMBOL res 432 -432 R0
SYMATTR InstName RV2
SYMATTR Value 25
TEXT 216 256 Left 0 !.ac dec 10 1 1000k

Breitbandig, Schmalbandig, Mittenfrequenz

Ein Netz kann
Breitbandig
gleiche Größenordnung b_f, f_go, f_gu

Beispiel: b_f=1Mhz, f_go=2Mhz, f_gu=1Mhz

oder Schmalbandig
Grenzfrequenz wesentlich größer als Bandbreite: b_f < f_go, f_gu

Beispiel: b_f=1Mhz, f_go=10Mhz, f_gu=9Mhz

Bandmittenfrequenz fm

Geometrisches Mittel
$f_m = \sqrt{f_{go} f_{gu} }$

Relative Bandbreite
$d = \frac{b_f}{f_m} = \frac{b_\omega}{\omega_m}$

Charakteristische Gleichung

Reihenschwingkreis Polstellen:

$(j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC} = 0$

2 unterschiedliche Lösungen
$(j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}}$
Eine reelle Doppellösung
$(j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L}$
Zwei konjugiert komplexe Lösungen
$(j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm j \sqrt{ \left( \frac{1}{LC} - \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2}$

Bandbreite

Bestimmung der 3 dB Eckfrequenzen

$\underline{T} (j\omega ) = \frac{\underline{U}_V(j\omega)}{\underline{U}_q(j\omega)} = \frac{R_2}{R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)}$

$R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right) = R \cdot (1 \pm j)$

$\omega L - \frac{1}{\omega C} = \pm R$

$\omega^2 \pm \omega \frac{R_1 + R_2}{ L} - \frac{1}{L C} = 0$

$\omega = \pm \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}}$
4 Lösungen, 2 kleiner Null.

Bandbreite Lösung

$\omega = \pm \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}}$
4 Lösungen, 2 kleiner Null.

$\omega_{go} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}}$

$\omega_{gu} = - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}}$

$\omega_{go} - \omega_{gu} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} - \left( - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right)$

$\omega_{go} - \omega_{gu} = 2 \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} = \frac{R_1 + R_2}{ L}$

Mittenfrequenz Lösung

$\omega_{go} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}}$

$\omega_{gu} = - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}}$

$\omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right) \cdot \left( - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right)$

$\omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{ L C} - \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2L} \right)^2 = \frac{1}{ L C} = \omega_r^2$

$\omega_r^2 = \omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \frac{1}{ L C}$

Güte

Güte Q ist das Verhältnis von Resonanzfrequenz, Mittenfrequenz und Bandbreite

$Q = \frac{\omega_r}{b_{\omega}} = \frac{\omega_r}{\omega_o - \omega_u} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

Je kleiner die Bandbreite, desto größer die Güte.
Die Güte ist Einheitslos

Beispielwerte Reihenschwingkreis

L / mH	C / uF	R1 / Ω	R2 / Ω
2.2	72	25	25
220	0.72	25	25
220	0.72	125	125

Bestimmen Sie für die obigen Werte eines Reihenschwingkreises Eckfrequenzen, Mittenfrequenz, Bandbreite und Güte.

Bandsperre und Bandpass

Bandsperre_RLC_01.asc

Version 4
SHEET 1 1484 680
WIRE 64 -192 48 -192
WIRE 112 -192 64 -192
WIRE 224 -192 192 -192
WIRE 336 -192 224 -192
WIRE 432 -192 336 -192
WIRE 544 -192 528 -192
WIRE 592 -192 544 -192
WIRE 768 -192 672 -192
WIRE 912 -192 768 -192
WIRE 336 -176 336 -192
WIRE 432 -176 432 -192
WIRE 768 -176 768 -192
WIRE 912 -176 912 -192
WIRE 48 -160 48 -192
WIRE 224 -160 224 -192
WIRE 528 -160 528 -192
WIRE 224 -80 224 -96
WIRE 224 -80 48 -80
WIRE 336 -80 336 -96
WIRE 336 -80 224 -80
WIRE 432 -80 432 -96
WIRE 432 -80 336 -80
WIRE 704 -80 528 -80
WIRE 768 -80 768 -96
WIRE 768 -80 704 -80
WIRE 912 -80 912 -96
WIRE 912 -80 768 -80
WIRE 224 -64 224 -80
WIRE 704 -64 704 -80
WIRE 64 32 48 32
WIRE 112 32 64 32
WIRE 240 32 192 32
WIRE 432 32 240 32
WIRE 560 32 544 32
WIRE 608 32 560 32
WIRE 768 32 688 32
WIRE 928 32 768 32
WIRE 240 48 240 32
WIRE 432 48 432 32
WIRE 928 48 928 32
WIRE 48 64 48 32
WIRE 544 64 544 32
WIRE 768 64 768 32
WIRE 720 144 544 144
WIRE 768 144 768 128
WIRE 768 144 720 144
WIRE 928 144 928 128
WIRE 928 144 768 144
WIRE 720 160 720 144
WIRE 48 192 48 144
WIRE 224 192 48 192
WIRE 240 192 224 192
WIRE 432 192 432 128
WIRE 432 192 240 192
WIRE 224 208 224 192
FLAG 224 208 0
FLAG 432 32 Uvr
FLAG 64 32 U1
FLAG 704 -64 0
FLAG 912 -192 UvL
FLAG 544 -192 U1L
FLAG 720 160 0
FLAG 928 32 UvC
FLAG 560 32 U1C
FLAG 224 -64 0
FLAG 432 -192 Uvp
FLAG 64 -192 U1LC
SYMBOL voltage 48 48 R0
WINDOW 123 24 132 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V1
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 208 16 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value {Rx}
SYMBOL ind 256 144 R180
WINDOW 0 36 80 Left 2
WINDOW 3 36 40 Left 2
SYMATTR InstName L1
SYMATTR Value 220m
SYMBOL cap 256 192 R180
WINDOW 0 24 56 Left 2
WINDOW 3 24 8 Left 2
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 0.72�
SYMBOL res 416 32 R0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value {Rx}
SYMBOL voltage 528 -176 R0
WINDOW 123 24 132 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V2
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 688 -208 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R3
SYMATTR Value {Rx}
SYMBOL ind 784 -80 R180
WINDOW 0 36 80 Left 2
WINDOW 3 36 40 Left 2
SYMATTR InstName L2
SYMATTR Value 220m
SYMBOL res 896 -192 R0
SYMATTR InstName R4
SYMATTR Value {Rx}
SYMBOL voltage 544 48 R0
WINDOW 123 24 132 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V3
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 704 16 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R5
SYMATTR Value {Rx}
SYMBOL cap 784 128 R180
WINDOW 0 24 56 Left 2
WINDOW 3 24 8 Left 2
SYMATTR InstName C2
SYMATTR Value 0.72�
SYMBOL res 912 32 R0
SYMATTR InstName R6
SYMATTR Value {Rx}
SYMBOL voltage 48 -176 R0
WINDOW 123 24 132 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V4
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 208 -208 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R7
SYMATTR Value {Rx}
SYMBOL ind 352 -80 R180
WINDOW 0 36 80 Left 2
WINDOW 3 36 40 Left 2
SYMATTR InstName L3
SYMATTR Value 220m
SYMBOL cap 240 -96 R180
WINDOW 0 24 56 Left 2
WINDOW 3 24 8 Left 2
SYMATTR InstName C3
SYMATTR Value 0.72�
SYMBOL res 416 -192 R0
SYMATTR InstName R8
SYMATTR Value {Rx}
TEXT 752 -48 Left 2 !.ac dec 10000 1 10000
TEXT 880 168 Left 2 !;tran 4m
TEXT 736 208 Left 2 !.param Rx = 2.5k

Rx = 2.5 kΩ
Man sieht wie nach Umwandlung der LC Parallelschaltung in eine Reihenschaltung aus dem Bandpass eine Bandsperre wird.
Die Schaltungen rechts mit nur einem L oder C dienen der Veranschaulichung, wie sich die Übertragungsfunktion aus Teilfunktionen zusammen setzt.

Bandsperre

Bandsperre_RLC_02.asc

Version 4
SHEET 1 1484 680
WIRE 272 -240 240 -240
WIRE 400 -240 352 -240
WIRE 64 -192 48 -192
WIRE 112 -192 64 -192
WIRE 208 -192 192 -192
WIRE 240 -192 240 -240
WIRE 240 -192 208 -192
WIRE 400 -192 400 -240
WIRE 432 -192 400 -192
WIRE 432 -176 432 -192
WIRE 48 -160 48 -192
WIRE 240 -144 240 -192
WIRE 288 -144 240 -144
WIRE 400 -144 400 -192
WIRE 400 -144 352 -144
WIRE 224 -80 48 -80
WIRE 432 -80 432 -96
WIRE 432 -80 224 -80
WIRE 224 -64 224 -80
FLAG 224 -64 0
FLAG 432 -192 Uvp
FLAG 208 -192 ULC
FLAG 64 -192 U1LC
SYMBOL voltage 48 -176 R0
WINDOW 123 44 123 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V4
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 208 -208 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R7
SYMATTR Value 25
SYMBOL ind 368 -256 R90
WINDOW 0 5 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName L3
SYMATTR Value 220m
SYMBOL cap 352 -160 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C3
SYMATTR Value 0.72�
SYMBOL res 416 -192 R0
SYMATTR InstName R8
SYMATTR Value 25
TEXT 280 -48 Left 2 !;tran 4m

$\frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_i} = \frac{R_2}{R_1 + R_2 + \frac{1}{j \omega C_1 + \frac{1}{j \omega L_1}}}$

$\frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_i} = \frac{R_2}{R_1 + R_2 + \frac{j \omega L_1}{(j \omega)^2 C_1 L_1 + 1}}$

$\frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_i} = \frac{R_2 \left( (j \omega)^2 C_1 L_1 + 1 \right)} {\left( R_1 + R_2 \right) \left( (j \omega)^2 C_1 L_1 + 1 \right) + j \omega L_1}$

$\frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_i} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \frac{(j \omega)^2 + \frac{1}{C_1 L_1}} { (j \omega)^2 + j \omega \frac{1}{C_1 \left( R_1 + R_2 \right)} + \frac{1}{C_1 L_1} }$

$K = \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

$S_{N1,2} = \pm j \frac{1}{\sqrt{C_1 L_1}}$

$S_{P1,2} = - \frac{1}{2 C_1 \left(R_1 +R_2\right)} \pm \sqrt{\frac{1}{4 C_1^2 \left(R_1 +R_2\right)^2} - \frac{1}{C_1 L_1}}$

$Q = R \sqrt{\frac{C_1}{L_1}}$

Tiefpass 2ter Ordnung

Tiefpass2terOrdnung.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE -32 96 -48 96
WIRE 32 96 -32 96
WIRE 176 96 112 96
WIRE 192 96 176 96
WIRE 288 96 192 96
WIRE 432 96 368 96
WIRE -48 128 -48 96
WIRE 176 128 176 96
WIRE 432 128 432 96
WIRE -48 224 -48 208
WIRE 96 224 -48 224
WIRE 176 224 176 192
WIRE 176 224 96 224
WIRE 432 224 432 192
WIRE 432 224 176 224
WIRE 96 272 96 224
FLAG 96 272 0
FLAG 432 96 UA
FLAG -32 96 Uq
FLAG 192 96 U1
SYMBOL voltage -48 112 R0
WINDOW 123 24 132 Left 0
WINDOW 39 0 0 Left 0
SYMATTR Value2 AC 1 0
SYMATTR InstName V1
SYMATTR Value ""
SYMBOL res 128 80 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 0
WINDOW 3 32 56 VTop 0
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 100
SYMBOL cap 160 128 R0
SYMATTR InstName C1
SYMATTR Value 1�
SYMBOL res 384 80 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 0
WINDOW 3 32 56 VTop 0
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 100
SYMBOL cap 416 128 R0
SYMATTR InstName C2
SYMATTR Value 1�
TEXT 128 248 Left 0 !.ac dec 15 1 1000000

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion.

Active Filter

Texas instruments: OpAmps for everyone
Ch-16 Active Filter Design Techniques

Filter.asc

Version 4
SHEET 1 880 680
WIRE 64 -208 -80 -208
WIRE 304 -208 128 -208
WIRE 192 -128 192 -144
WIRE -176 -112 -192 -112
WIRE -80 -112 -80 -208
WIRE -80 -112 -96 -112
WIRE -64 -112 -80 -112
WIRE 48 -112 16 -112
WIRE 160 -112 48 -112
WIRE 48 -96 48 -112
WIRE 256 -96 224 -96
WIRE 304 -96 304 -208
WIRE 304 -96 256 -96
WIRE 352 -96 304 -96
WIRE -256 -80 -304 -80
WIRE 160 -80 128 -80
WIRE -304 -48 -304 -80
WIRE 192 -48 192 -64
WIRE 48 -16 48 -32
WIRE 128 16 128 -80
WIRE 256 16 256 -96
WIRE 256 16 128 16
WIRE -304 64 -304 32
WIRE 16 64 -16 64
WIRE 336 64 96 64
WIRE 160 128 128 128
WIRE 336 128 336 64
WIRE 336 128 224 128
WIRE 272 208 272 192
WIRE -128 224 -160 224
WIRE -16 224 -16 64
WIRE -16 224 -48 224
WIRE 16 224 -16 224
WIRE 128 224 128 128
WIRE 128 224 96 224
WIRE 240 224 128 224
WIRE 336 240 336 128
WIRE 336 240 304 240
WIRE 368 240 336 240
WIRE -16 256 -16 224
WIRE 240 256 208 256
WIRE 208 288 208 256
WIRE 272 288 272 272
WIRE -16 336 -16 320
FLAG 192 -48 VDD
FLAG 192 -144 VSS
FLAG 352 -96 Vo1
FLAG -304 64 0
FLAG -256 -80 Vin
FLAG 272 192 VDD
FLAG 272 288 VSS
FLAG 368 240 Vo2
FLAG -16 336 0
FLAG 208 288 0
FLAG 48 -16 0
FLAG -192 -112 Vin
FLAG -160 224 Vin
FLAG -80 -208 Ux1
FLAG -16 64 Ux2
SYMBOL AD8615 192 -32 M180
SYMATTR InstName U2
SYMBOL voltage -304 -64 R0
WINDOW 123 24 124 Left 2
WINDOW 39 0 0 Left 2
SYMATTR Value2 AC 1
SYMATTR InstName V2
SYMATTR Value SINE(0 2m 10k)
SYMBOL AD8615 272 176 R0
SYMATTR InstName U1
SYMBOL cap 224 112 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C11
SYMATTR Value 150n
SYMBOL res -32 208 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R1
SYMATTR Value 1.5k
SYMBOL res 112 48 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R2
SYMATTR Value 1.4k
SYMBOL res 112 208 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R3
SYMATTR Value 1.2k
SYMBOL cap -32 256 R0
SYMATTR InstName C2
SYMATTR Value 20n
SYMBOL cap 32 -96 R0
SYMATTR InstName C01
SYMATTR Value 22n
SYMBOL cap 128 -224 R90
WINDOW 0 0 32 VBottom 2
WINDOW 3 32 32 VTop 2
SYMATTR InstName C02
SYMATTR Value 150n
SYMBOL res 32 -128 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R02
SYMATTR Value 1.3k
SYMBOL res -80 -128 R90
WINDOW 0 0 56 VBottom 2
WINDOW 3 32 56 VTop 2
SYMATTR InstName R01
SYMATTR Value 1.26k
TEXT -336 -128 Left 2 !;tran 0.5
TEXT -336 -192 Left 2 !VDD VDD 0 DC 5\nVSS VSS 0 DC -5
TEXT -208 -16 Left 2 !.ac dec 10 1 1G
TEXT -320 -264 Left 2 ;LP Filter
TEXT 208 -256 Left 2 ;Sallen-Key
TEXT 64 352 Left 2 ;Multiple Feedback Topology

Sallen-Key Topology
Knotenspannung Vx
Stromgleichungen, Knotengleichungen
(1)

$\frac{V_{in}-V_{x}}{R_1} = \frac{V_x-V_{out}}{R_2} + (V_x-V_{out}) j \omega C_2$
(2)

$\frac{V_x-V_{out}}{R_2} = V_{out} j \omega C_1$
(2')

$V_x = V_{out} (j \omega C_1 R_2 + 1)$
(2),(2') in (1)

$\frac{V_{in}}{R_1} - V_{out} \frac{(j \omega C_1 R_2 +1)}{R_1} = V_{out} j \omega C_1 + V_{out} R_2 j \omega C_1 j \omega C_2$

$\frac{V_{in}}{R_1} = V_{out} ( j \omega C_1 + (j \omega )^{2} C_1 C_2 R_2 + \frac{1}{R_1} + j \omega C_1 \frac{R_2}{R_1}$

$\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1} {j \omega C_1 R_1 + (j \omega)^2 C_1 C_2 R_2 R_1 + 1 + j \omega C_1 R_2}$

$\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1}{1 + j \omega C_1 (R_1 + R_2) + (j\omega)^2 C_1 C_2 R_2 R_1}$

Koeffizienten: Bessel, Butterworth, Tschebyscheff

Multiple Feedback Topology

Stellen Sie die Gleichung für die Übertragungsfunktion auf.

Reference: TI, Op amp for everyone

Polynomfilter (Digital Signal Processing)

$\underline{T}(j \omega) = K \frac{1}{(j\omega)^n + b_1 (j\omega)^{n-1} +...+ b_n}$

Tabellen
Butterworth Filter
Tschebyschew Filter
Bessel Filter
Digitalfilter

Analog Filter Wizard

Low pass, High pass, Band pass
Analog Filter Wizard

Zusammenfassung und nächstes Mal

Bandpass
Obere und untere Eckfrequenz, Bandbreite
Mittenfrequenz
Güte

23 Transformator

2022 GET 2 Bandpass und Bandsperre Prof. Dr. Joerg Vollrath