Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2)

22 Bandpass und Bandsperre

Prof. Dr. Jörg Vollrath

Übersicht

Tiefpass
Hochpass
Bandpass
Bandsperre

Bandpass

Ein Netz, das bei tiefen und hohen Frequenzen je einen Sperrbereich hat. Bei mittleren Frequenzen gibt es einen Durchlassbereich. Es gibt also 2 Grenzfrequenzen.
Untere Grenzfrequenz (lower cutoff frequency) f_gu trennt bei tiefen Frequenzen Sperr- und Durchlassbereich
Obere Grenzfrequenz (upper cutoff frequency) f_go trennt bei hohen Frequenzen Sperr- und Durchlassbereich

Durchlassbereich zwischen den beiden Grenzfrequenzen
Die Differenz wird als Bandbreite (bandwidth) b_f bezeichnet.
b_f = f_go - f_gu
Manchmal wird auch b_ω = 2 π b_f als Bandbreite bezeichnet

Elementarer Bandpass

Kombination Tiefpass und Hochpass
ω → 0

C Unterbrechung
L Kurzschluss

ω → ∞

C Kurzschluss
L Unterbrechung

ω_r Resonanzkreisfrequenz

Widerstandskombination L und C ist Null
P = P_max

Überlegung für Reihenschaltung und Parallelschaltung

Übertragungsfunktion Reihenschaltung

\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{\underline{U}_V(j\omega)}{\underline{U}_q(j\omega)} = \frac{R_2}{R_1+R_2+ j\omega L +\frac{1}{j\omega C}} = \frac{R_2}{R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)} \)

\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2 j\omega C } {(R_1+R_2) j\omega C + (j\omega)^2 L C +1} \)

\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2}{L} \frac{j\omega} {(j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC}} \)

Eine Nullstelle: s_n0 = 0
2 Pole
Mindestanforderung für einen Bandpass erfüllt
Resonanz, Schwingkreis

Zur Untersuchung der Schaltung wird die Übertragungsfunktion aufgestellt.
Die Übertragungsfunktion hah Nullstellen (Zähler) und Polstellen (Nenner).
Man hat Potenzen von jω oben und unten stehen.
Die Potenzen sind geordnet und die höchste Potenz hat keinen Vorfaktor.
Für die Polstellen muss man die Nullstellen der quadratischen Gleichung suchen.

Übertragungsfunktion Reihenschaltung: Polstellen

\( (j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC} = 0 \)

\( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}} \)

Beispielwerte und Darstellung:

L / mH	C / uF	R1 / Ω	R2 / Ω	\( \frac{R_1 + R_2}{2 L} \) / s^-1	\( \frac{1}{\sqrt{C L}} \) / s^-2	\( \sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}} \) / s^-2
2.2	72	25	25	11364	2513	11082
220	0.72	25	25	113.64	2513	j2510
220	0.72	125	125	340.9	2513	j2489

Es kann eine oder zwei reelle Lösungen oder komplexe Lösungen geben.
Wie sieht die Übertragungsfunktion für komplexe Lösungen aus?

Grafische Übertragungsfunktion Reihenschaltung

\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2}{L} \frac{j\omega} {(j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC}} = \frac{R_2}{L} \frac{j\omega} {(j\omega - \omega_1) (j\omega - \omega_2) } \)
\( a(ω) = 20 * log |\underline{T} (j\omega )| = 20 * log \frac{R_2}{L} + 20 * log \omega - 20 log ( \sqrt{ \left( \frac{1}{LC} - \omega^2 \right)^2 + \left( \frac{R_1+R_2}{L} \omega \right)^2}) \)

Excel: Bandpass

LTSPICE:
Aus welchen Teilfunktionen ergibt sich die Übertragungsfunktion?

Man sieht wie sich die Gesamtfunktion aus den Teilfunktionen zusammen setzt.
Wenn der Imaginärteil des komplexen Widerstandes Null wird, tritt Resonanz auf.
Eine Spannungsüberhöhung kann an L und C auftreten.
Im Übergangsbereich kann sich die Übertragungsfunktion mit mehr als 20 dB/Dekade ändern.

Breitbandig, Schmalbandig, Mittenfrequenz

Ein Netz kann
Breitbandig
gleiche Größenordnung b_f, f_go, f_gu

Beispiel: b_f=1Mhz, f_go=2Mhz, f_gu=1Mhz

oder Schmalbandig
Grenzfrequenz wesentlich größer als Bandbreite: b_f < f_go, f_gu

Beispiel: b_f=1Mhz, f_go=10Mhz, f_gu=9Mhz

Bandmittenfrequenz fm

Geometrisches Mittel
\( f_m = \sqrt{f_{go} f_{gu} } \)

Relative Bandbreite
\( d = \frac{b_f}{f_m} = \frac{b_\omega}{\omega_m} \)

Charakteristische Gleichung

Reihenschwingkreis Polstellen:

\( (j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC} = 0 \)

2 unterschiedliche Lösungen
\( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}} \)
Eine reelle Doppellösung
\( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \)
Zwei konjugiert komplexe Lösungen
\( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm j \sqrt{ \left( \frac{1}{LC} - \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2} \)

Bandbreite

Bestimmung der 3 dB Eckfrequenzen

\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{\underline{U}_V(j\omega)}{\underline{U}_q(j\omega)} = \frac{R_2}{R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)} \)

\( R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right) = R \cdot (1 \pm j) \)

\( \omega L - \frac{1}{\omega C} = \pm R \)

\( \omega^2 \pm \omega \frac{R_1 + R_2}{ L} - \frac{1}{L C} = 0 \)

\( \omega = \pm \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)
4 Lösungen, 2 kleiner Null.

Bandbreite Lösung

\( \omega = \pm \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)
4 Lösungen, 2 kleiner Null.
\( \omega_{go} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)

\( \omega_{gu} = - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)

\( \omega_{go} - \omega_{gu} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} - \left( - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right)\)

\( \omega_{go} - \omega_{gu} = 2 \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} = \frac{R_1 + R_2}{ L} \)

Mittenfrequenz Lösung

\( \omega_{go} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)

\( \omega_{gu} = - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)

\( \omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right) \cdot \left( - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right) \)

\( \omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{ L C} - \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2L} \right)^2 = \frac{1}{ L C} = \omega_r^2 \)

\( \omega_r^2 = \omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \frac{1}{ L C} \)

Güte

Güte Q ist das Verhältnis von Resonanzfrequenz, Mittenfrequenz und Bandbreite

\( Q = \frac{\omega_r}{b_{\omega}} = \frac{\omega_r}{\omega_o - \omega_u} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \)

Je kleiner die Bandbreite, desto größer die Güte.
Die Güte ist Einheitslos

Beispielwerte Reihenschwingkreis

L / mH	C / uF	R1 / Ω	R2 / Ω
2.2	72	25	25
220	0.72	25	25
220	0.72	125	125

Bestimmen Sie für die obigen Werte eines Reihenschwingkreises Eckfrequenzen, Mittenfrequenz, Bandbreite und Güte.

Bandsperre und Bandpass

Rx = 2.5 kΩ
Man sieht wie nach Umwandlung der LC Parallelschaltung in eine Reihenschaltung aus dem Bandpass eine Bandsperre wird.
Die Schaltungen rechts mit nur einem L oder C dienen der Veranschaulichung, wie sich die Übertragungsfunktion aus Teilfunktionen zusammen setzt.

Bandsperre

\( \frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_i} = \frac{R_2}{R_1 + R_2 + \frac{1}{j \omega C_1 + \frac{1}{j \omega L_1}}} \)

\( \frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_i} = \frac{R_2}{R_1 + R_2 + \frac{j \omega L_1}{(j \omega)^2 C_1 L_1 + 1}} \)
\( \frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_i} = \frac{R_2 \left( (j \omega)^2 C_1 L_1 + 1 \right)} {\left( R_1 + R_2 \right) \left( (j \omega)^2 C_1 L_1 + 1 \right) + j \omega L_1} \)
\( \frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_i} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \frac{(j \omega)^2 + \frac{1}{C_1 L_1}} { (j \omega)^2 + j \omega \frac{1}{C_1 \left( R_1 + R_2 \right)} + \frac{1}{C_1 L_1} } \)
\( K = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \)
\( S_{N1,2} = \pm j \frac{1}{\sqrt{C_1 L_1}}\)
\( S_{P1,2} = - \frac{1}{2 C_1 \left(R_1 +R_2\right)} \pm \sqrt{\frac{1}{4 C_1^2 \left(R_1 +R_2\right)^2} - \frac{1}{C_1 L_1}} \)
\( Q = R \sqrt{\frac{C_1}{L_1}} \)

Tiefpass 2ter Ordnung

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion.

Active Filter

Texas instruments: OpAmps for everyone
Ch-16 Active Filter Design Techniques

Sallen-Key Topology
Knotenspannung Vx
Stromgleichungen, Knotengleichungen
(1) \( \frac{V_{in}-V_{x}}{R_1} = \frac{V_x-V_{out}}{R_2} + (V_x-V_{out}) j \omega C_2 \)
(2) \( \frac{V_x-V_{out}}{R_2} = V_{out} j \omega C_1 \)
(2') \( V_x = V_{out} (j \omega C_1 R_2 + 1) \)
(2),(2') in (1)
\( \frac{V_{in}}{R_1} - V_{out} \frac{(j \omega C_1 R_2 +1)}{R_1} = V_{out} j \omega C_1 + V_{out} R_2 j \omega C_1 j \omega C_2 \)
\( \frac{V_{in}}{R_1} = V_{out} ( j \omega C_1 + (j \omega )^{2} C_1 C_2 R_2 + \frac{1}{R_1} + j \omega C_1 \frac{R_2}{R_1} \)
\( \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1} {j \omega C_1 R_1 + (j \omega)^2 C_1 C_2 R_2 R_1 + 1 + j \omega C_1 R_2} \)
\( \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1}{1 + j \omega C_1 (R_1 + R_2) + (j\omega)^2 C_1 C_2 R_2 R_1} \)

Koeffizienten: Bessel, Butterworth, Tschebyscheff

Multiple Feedback Topology

Stellen Sie die Gleichung für die Übertragungsfunktion auf.

Reference: TI, Op amp for everyone

Polynomfilter (Digital Signal Processing)

\( \underline{T}(j \omega) = K \frac{1}{(j\omega)^n + b_1 (j\omega)^{n-1} +...+ b_n}\)

Tabellen
Butterworth Filter
Tschebyschew Filter
Bessel Filter
Digitalfilter

Analog Filter Wizard

Low pass, High pass, Band pass
Analog Filter Wizard

Zusammenfassung und nächstes Mal

Bandpass
Obere und untere Eckfrequenz, Bandbreite
Mittenfrequenz
Güte

23 Transformator

2022 GET 2 Bandpass und Bandsperre Prof. Dr. Joerg Vollrath