Grundlagen Elektrotechnik 2 (GET2) 22 Bandpass und Bandsperre Prof. Dr. Jörg Vollrath 21 Tiefpass und Hochpass

Übersicht

• Tiefpass
• Hochpass
• Bandpass
• Bandsperre

Bandpass

Ein Netz, das bei tiefen und hohen Frequenzen je einen Sperrbereich hat. Bei mittleren Frequenzen gibt es einen Durchlassbereich. Es gibt also 2 Grenzfrequenzen. Untere Grenzfrequenz (lower cutoff frequency) fgu trennt bei tiefen Frequenzen Sperr- und Durchlassbereich Obere Grenzfrequenz (upper cutoff frequency) fgo trennt bei hohen Frequenzen Sperr- und Durchlassbereich Durchlassbereich zwischen den beiden Grenzfrequenzen Die Differenz wird als Bandbreite (bandwidth) bf bezeichnet. bf = fgo - fgu Manchmal wird auch bω = 2 π bf als Bandbreite bezeichnet

Elementarer Bandpass

Kombination Tiefpass und Hochpass ω → 0 C Unterbrechung L Kurzschluss ω → ∞ C Kurzschluss L Unterbrechung ωr Resonanzkreisfrequenz Widerstandskombination L und C ist Null P = Pmax Überlegung für Reihenschaltung und Parallelschaltung

Übertragungsfunktion Reihenschaltung

\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{\underline{U}_V(j\omega)}{\underline{U}_q(j\omega)} = \frac{R_2}{R_1+R_2+ j\omega L +\frac{1}{j\omega C}} = \frac{R_2}{R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)} \)

\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2 j\omega C } {(R_1+R_2) j\omega C + (j\omega)^2 L C +1} \)

\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2}{L} \frac{j\omega} {(j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC}} \)

• Eine Nullstelle: s_n0 = 0
• 2 Pole
• Mindestanforderung für einen Bandpass erfüllt
• Resonanz, Schwingkreis

Übertragungsfunktion Reihenschaltung Polstellen

\( (j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC} = 0 \)

\( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}} \)

Beispielwerte und Darstellung:

L / mH	C / uF	R1 / Ω	R2 / Ω	\( \frac{R_1 + R_2}{2 L} \) / s-1	\( \frac{1}{\sqrt{C L}} \) / s-2	\( \sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}} \) / s-2
2.2	72	25	25	11364	2513	11082
220	0.72	25	25	113.64	2513	j2510
220	0.72	125	125	340.9	2513	j2489

Grafische Übertragungsfunktion Reihenschaltung

\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{R_2}{L} \frac{j\omega} {(j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC}} = \frac{R_2}{L} \frac{j\omega} {(j\omega - \omega_1) (j\omega - \omega_2) } \)
\( a(ω) = 20 * log |\underline{T} (j\omega )| = 20 * log \frac{R_2}{L} + 20 * log \omega - 20 log ( \sqrt{ \left( \frac{1}{LC} - \omega^2 \right)^2 + \left( \frac{R_1+R_2}{L} \omega \right)^2}) \)

Breitbandig, Schmalbandig, Mittenfrequenz

• Ein Netz kann
• Breitbandig
• gleiche Größenordnung b_f, f_go, f_gu
• Beispiel: b_f=1Mhz, f_go=2Mhz, f_gu=1Mhz
• oder Schmalbandig
• Grenzfrequenz wesentlich größer als Bandbreite: b_f < f_go, f_gu
• Beispiel: b_f=1Mhz, f_go=10Mhz, f_gu=9Mhz
  
• Bandmittenfrequenz fm
• Geometrisches Mittel
• \( f_m = \sqrt{f_{go} f_{gu} } \)
• Relative Bandbreite
• \( d = \frac{b_f}{f_m} = \frac{b_\omega}{\omega_m} \)

Charakteristische Gleichung

Reihenschwingkreis Polstellen:

\( (j\omega)^2 + \frac{R_1+R_2}{L} j\omega + \frac{1}{LC} = 0 \)

• 2 unterschiedliche Lösungen
  \( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2 - \frac{1}{LC}} \)
• Eine reelle Doppellösung
  \( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \)
• Zwei konjugiert komplexe Lösungen
  \( (j\omega)_{1,2} = - \frac{R_1+R_2}{2 L} \pm j \sqrt{ \left( \frac{1}{LC} - \frac{R_1+R_2}{2 L} \right)^2} \)

Bandbreite

Bestimmung der 3 dB Eckfrequenzen

\( \underline{T} (j\omega ) = \frac{\underline{U}_V(j\omega)}{\underline{U}_q(j\omega)} = \frac{R_2}{R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)} \)

\( R_1+R_2+ j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right) = R \cdot (1 \pm j) \)

\( \omega L - \frac{1}{\omega C} = \pm R \)

\( \omega^2 \pm \omega \frac{R_1 + R_2}{ L} - \frac{1}{L C} = 0 \)

\( \omega = \pm \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)
4 Lösungen, 2 kleiner Null.

Bandbreite Lösung

\( \omega = \pm \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \pm \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)
4 Lösungen, 2 kleiner Null.
\( \omega_{go} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)

\( \omega_{gu} = - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)

\( \omega_{go} - \omega_{gu} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} - \left( - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right)\)

\( \omega_{go} - \omega_{gu} = 2 \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} = \frac{R_1 + R_2}{ L} \)

Mittenfrequenz Lösung

\( \omega_{go} = \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)

\( \omega_{gu} = - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \)

\( \omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right) \cdot \left( - \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} + \sqrt{ \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{L C}} \right) \)

\( \omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2 L} \right)^2 + \frac{1}{ L C} - \left( \frac{R_1 + R_2}{ 2L} \right)^2 = \frac{1}{ L C} = \omega_r^2 \)

\( \omega_r^2 = \omega_{go} \cdot \omega_{gu} = \frac{1}{ L C} \)

Güte

Güte Q ist das Verhältnis von Resonanzfrequenz, Mittenfrequenz und Bandbreite

\( Q = \frac{\omega_r}{b_{\omega}} = \frac{\omega_r}{\omega_o - \omega_u} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \)

Je kleiner die Bandbreite, desto größer die Güte.
Die Güte ist Einheitslos

Beispielwerte Reihenschwingkreis

L / mH	C / uF	R1 / Ω	R2 / Ω
2.2	72	25	25
220	0.72	25	25
220	0.72	125	125

Bestimmen Sie für die obigen Werte eines Reihenschwingkreises Eckfrequenzen, Mittenfrequenz, Bandbreite und Güte.

Zusammenfassung und nächstes Mal

• Bandpass
• Obere und untere Eckfrequenz, Bandbreite
• Mittenfrequenz
• Güte

23 Transformator