Digitaltechnik

07 Zeichen und Codes

Prof. Dr.

Jörg Vollrath

06 VHDL Test und Multiplexer

Ein kurze Videozusammenfassung der Vorlesung

Länge: 6:32 min

Wiederholung und Heute

Typ: STD_LOGIC
Ports, Busse und Signale
VHDL-Testbench und process

Heute:

Ganze Zahlen
Festkommazahlen, Gleitkommazahlen
Rechnen mit Zahlen
Codes: ASCII, UTF, Gray Code, Thermometer Code

Motivation:
Wie kann ich komplexe Probleme abbilden?
Wie werden Zeichen, Wörter und Zahlen dargestellt?

Überblick, Zahlendarstellung, Codes

Digitale Systeme: Diskrete Werte
Logische Pegel und Spannungen

Wie komme ich von „0“ und „1“ zu ganzen positiven dezimalen Zahlen?

Ganze Zahlen (Binär codierte Dezimalzahlen BCD-Code)
Zweier Komplement
Vorzeichen, Betrag
Festkommazahlen, Gleitkommazahlen
Rechnen mit Zahlen
Codes

Zahlendarstellung

Ganze Zahlen

245
Postiv, negativ

Beispiel: D = 123₁₀ = 1 * 100 + 2 * 10 + 3 * 1

Rationale Zahlen

Festkommadarstellung
1.2345
Gleitkommadarstellung
-1.2345E-12

Stellenwertsystem

Zahlensystem: Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem

Die Wertigkeit eines Symbols hängt von seiner Position ab.
Dezimalsystem, Dualsystem, Hexadezimalsystem
Es gibt die Koeffizienten a_i und die Basis B.

$\sum_{i=n} ^{0} a_i \cdot B^i = a_n \cdot B^n + \dotsb + a_2 \cdot B^2 + a_1 \cdot B + a_0 $

Dezimalsystem:	B=10;	a = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Hexadezimalsystem:	B=16;	a = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
Dualsystem:	B=2;	a = {0,1}

Hexadezimalzahlen werden in Programmiersprachen unterschiedlich realisiert:

JavaScript: 0x z.B. 0x4, 0xA
HTML: Farben z.B. "#00ffbf"
VHDL: x"0AB"

Binäre Zahlen, Dualzahlen

Bit: 0,1

Byte: 8 Bit, 2 Hexadezimalzahlen: 0x4A, Bereich: 0..255
10 Bit, Bereich: 0..1023, 1 kBit, 3 Dezimalstellen
(20 Bit, Bereich: 1 MBit; 1 GBit, 1 TBit)
Word: 16 Bit, 2 Byte, Bereich: 0..65535

Es gibt ein MSB (most significant bit) and LSB (least significant bit)
Über den Stellen wird die Wertigkeit gezeigt.

Umrechnungen

Positive ganze Zahlen:

	Dezimalzahl	Dualzahl	Hexadezimalzahl
Dezimalzahl		D = b_n 2ⁿ + ... + b₁ 2¹ + b₀ 2⁰	D = H_n 16ⁿ + ... + H₁ 16¹ + H₀ 16⁰
Dualzahl	Hexadezimalzahl		Tabelle
Hexadezimalzahl	Teile mit Rest	Tabelle

Zahlenumwandlung

Umrechnungstabelle

Dezimal- zahl	Hexa- dezimal- zahl	Dualzahl MSB..LSB
0	0x0	0000
1	0x1	0001
2	0x2	0010
3	0x3	0011
4	0x4	0100
5	0x5	0101
6	0x6	0110
7	0x7	0111

Dezimal- zahl	Hexa- dezimal- zahl	Dualzahl MSB..LSB
8	0x8	1000
9	0x9	1001
10	0xA	1010
11	0xB	1011
12	0xC	1100
13	0xD	1101
14	0xE	1110
15	0xF	1111

Umrechnung: Teilen mit Rest

Wiederholtes Teilen einer Zahl Z durch die neue Basis B mit Rest R_i transformiert eine Zahl von einem System zum Anderen.

Beispiel Dezimalzahl zu Dualzahl :
Damit es nich zu lange dauert wird erst dezimal zu hexadezimal gerechnet und dann die Tabelle verwendet.

Dezimal: 35783
35783 / 16 = 2236 Rest 7
2236 / 16 = 139 Rest 12 ( C)
139 / 16 = 8 Rest 11 ( B)
8 / 16 = 0 Rest 8 ( 8)

Hexadezimalzahl: 0x8BC7

Anwendung der Tabelle zur Darstellung der entsprechenden Dualzahl:

Hexadezimalzahl:	8	B	C	7
Dualzahl:	1000	1011	1100	0111

Darstellung negativer Zahlen

Zweierkomplement

Dezimal- zahl	Dualzahl Zweierkomplement MSB..LSB
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111

Dezimal- zahl	Dualzahl Zweierkomplement MSB..LSB
-8	1000
-7	1001
-6	1010
-5	1011
-4	1100
-3	1101
-2	1110
-1	1111

Im Zweierkomplement gibt die linke Stelle das Vorzeichen an.
Bei der Bildung des Zweierkomplements, der zugehörigen negativen Zahl, werden alle Bits invertiert und 1 zur Zahl addiert.

Rechnen mit dem Zweierkomplement

Bildung einer negativen Zahl:

3: 0011

Invertieren:

1100

1 addieren:

1101: -3

Addition:

4 + (-3) = 1

4:		0	1	0	0
-3:		1	1	0	1
	1	1
1	(1)	0	0	0	1

Festkommadarstellung

Dezimal- zahl	Dualzahl MSB..LSB
0.00	00.00
0.25	00.01
0.50	00.10
0.75	00.11
1	01.00
1.25	01.01
1.5	01.10
1.75	01.11

Dezimal- zahl	Dualzahl MSB..LSB
2.00	000010.00
2.25	000010.01
2.5	000010.10
2.75	000010.11
3.0	000011.00
3.25	000011.01
3.5	000011.10
3.75	000011.11

Nur die Interpretation der Wertigkeit ändert sich.

Gleitkommadarstellung

IEEE-754-Gleitkommaformat

Typ: single, 32 Bit, 4 Byte

31	30	29		24	23	22	21		1	0
S	E	E	..	E	E	M	M	..	M	M
V	Exponent					Mantisse
Vorzeichen, sign

$ z = (-1)^{V} \cdot 1.M \cdot 10 ^{(E-127)} $
Dezimalstellen: 7..8
Kleinste Zahl: 1.175 ⋅ 10^-38
Größte Zahl: 3.403 ⋅ 10³⁸
Es ergeben sich beim Rechnen immer aufgrund der beschränkten Genauigkeit Rundungsfehler.

https://de.wikipedia.org/wiki/IEEE_754

ASCII Codierung

ASCII-Zeichentabelle, hexadezimale Nummerierung

Code	…0	…1	…2	…3	…4	…5	…6	…7	…8	…9	…A	…B	…C	…D	…E	…F
0…	NUL	SOH	STX	ETX	EOT	ENQ	ACK	BEL	BS	HT	LF	VT	FF	CR	SO	SI
1…	DLE	DC1	DC2	DC3	DC4	NAK	SYN	ETB	CAN	EM	SUB	ESC	FS	GS	RS	US
2…	SP	!	"	#	$	%	&	'	(	)	*	+	,	-	.	/
3…	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	:	;	<	=	>	?
4…	@	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O
5…	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z	[	\	]	^	_
6…	`	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m	n	o
7…	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z	{	\|	}	~	DEL

Buchstaben, Zahlen, Sonderzeichen

JavaScript: String.fromCharCode(65) "A"
"ABC".charCodeAt(0) // returns 65

Excel: Code() Zeichen()

https://de.wikipedia.org/wiki/American_Standard_Code_for_Information_Interchange

Internationaler Zeichensatz UTF-8 Kodierung.
https://de.wikipedia.org/wiki/UTF-8

Abkürzung ASCII: Amerikanischer Standard-Code für den Informationsaustausch
Abkürzung UTF-8 (HTML Dokumente): 8-Bit Universal Character Set(UCS) Transformation Format
Das Microsoft Betriebssystem verwendet: UTF-16 Little Endian format.
Weitere Details bei Wikipedia.

Bilder, Zeichen, Sprites, Emoticons

Buchstaben und Zeichen können als 8 x 8 Pixel abgespeichert werden.

Videospiele hatten zu Anfang 8 x 8 Pixel Tiles als Hintergrund und die Figuren sind 16 x 16 Sprites
z. B. Pacman

Gray-Code und Thermometercode

Dezimal- zahl	Dualzahl	Gray Code	Thermometercode
0	000	000	0000000
1	001	001	0000001
2	010	011	0000011
3	011	010	0000111
4	100	110	0001111
5	101	111	0011111
6	110	101	0111111
7	111	100	1111111

Der Gray-Code ist robust und kompakt.
Beim Gray Code wird beim Übergang zwischen zwei aufeinanderfolgenden Codes nur eine Stelle, ein Bit geändert.
Es können nur kleine Fehler auftreten.
Dies ist wichtig bei der Realisierung

Gray-Code Robustheit

Dualcode

Übergang: 110 -> 101
Zwischenwert: 111 -> 100, Fehlpositionen

Gray-Code

Übergang: 101 -> 111
keine Zwischenwerte möglich, keine Fehlposition

Eine Codierscheibe kann die Position eines Motors anhand des Codes bestimmen. Die Codierscheiben sind hier gezeigt. Ein Photodetektor erzeugt eine 0 (weisse Fläche) oder 1 (schwarze Fläche).

7 Segment Anzeige

Es gibt eine Konfigurationsdatei (.xdc oder .ucf), die die Verbindungsdaten eines Schaltungsboards beschreibt.
Es wird jedem Pin z.B 'A11' ein Signalname zugeordnet.

Hexadezimalzahlen auf dem 7 Segment Display.

7 Segment Anzeige: Hexadezimalzahlen

7 Segment Anzeige: VHDL


entity HEX2LEDA is
    port (
        HEX : in std_logic_vector (3 downto 0);    -- HEX input signal
        LEDN: out std_logic_vector (6 downto 0)    -- 7 segment output
         );                                        -- inverted
end HEX2LEDA;
architecture HEX2LEDA_BEHAVE of HEX2LEDA is
signal LED: std_logic_vector (6 downto 0);
begin
  DECODE_P1: process (HEX)  -- process declaration for 7 segment encoding
--  7 Segment: g, f, e, d, c, b, a
--         LED 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
    begin
    case HEX is                                   -- 7-segment decoding
      when "0001" =>    LED <= "0000110";  -- 1   segment encoding:
      when "0010" =>    LED <= "1011011";  -- 2        a
--     ....                                           ---          
      when "1110" =>    LED <= "1111001";  -- E    f |   | b       
      when "1111" =>    LED <= "1110001";  -- F       ---   <- g   
      when others =>    LED <= "0111111";  -- 0    e |   | c       
    end case;                                         ---
  end process DECODE_P1;                   --           d
  LEDN <= NOT(LED);  -- concurrent assignment for common anode LED        
end HEX2LEDA_BEHAVE;

7 Segment Anzeige: VHDL Praktikum


entity HEX2LEDAX is
    port (
        HEX : in std_logic_vector (3 downto 0);    -- HEX input signal
        LEDN: out std_logic_vector (6 downto 0)    -- 7 segment output
         );                                        -- inverted
end HEX2LEDAX;

architecture HEX2LEDAX_BEHAVE of HEX2LEDAX is
signal LED: std_logic_vector (6 downto 0);

begin
--   segment encoding:
--        a
--       ---                   g, f, e, d, c, b, a
--    f |   | b                6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
--       ---   <- g            
--    e |   | c                
--       ---
--        d
    LED(0) <= ( HEX(3) and not(HEX(2)) and not(HEX(1)) ) or ( not(HEX(3)) and HEX(2) and HEX(0) ) 
	          or ( not(HEX(2)) and not(HEX(0)) ) or ( HEX(3) and not(HEX(0)) ) 
	          or ( not(HEX(3)) and HEX(1) )  or ( HEX(2) and HEX(1) ) ; -- a
    LED(1) <= ( not(HEX(3)) and not(HEX(1)) and not(HEX(0)) )
  	          or ( HEX(3) and not(HEX(1)) and HEX(0) ) or ( not(HEX(3)) and HEX(1) and HEX(0) ) 
	          or ( not(HEX(2)) and not(HEX(0)) )  or ( not(HEX(2)) and not(HEX(3)) ) ; -- b
    LED(2) <= ( not(HEX(3)) and not(HEX(1)) ) or ( HEX(3) and not(HEX(2))  ) 
	          or ( not(HEX(3)) and HEX(2)  ) or ( not(HEX(1)) and HEX(0) ) 
			  or ( not(HEX(3)) and HEX(0) ) ; -- c
    LED(3) <= ( not(HEX(3)) and not(HEX(2)) and not(HEX(0)) ) 
	          or ( not(HEX(2)) and HEX(1) and HEX(0) ) or ( HEX(2) and HEX(1) and not(HEX(0)) ) 
	          or ( HEX(2) and not(HEX(1)) and HEX(0) ) or ( HEX(3) and not(HEX(1)) ) ; -- d
    LED(4) <= '1';  -- e
    LED(5) <= ( not(HEX(3)) and HEX(2) and not(HEX(1)) ) 
	          or ( not(HEX(1)) and not(HEX(0)) ) or ( HEX(3) and not(HEX(2)) ) 
	          or ( HEX(2) and not(HEX(0)) ) or ( HEX(3) and     HEX(1) ) ; -- f
    LED(6) <= ( not(HEX(3)) and HEX(2) and not(HEX(1)) ) 
	          or ( HEX(3) and not(HEX(2)) ) or ( HEX(1) and not(HEX(0)) ) 
	          or ( not(HEX(2)) and HEX(1) ) or ( HEX(3) and     HEX(0) ) ; -- g
  
  LEDN <= NOT(LED);                               -- concurrent assignment
                                                  -- for common anode LED        
end HEX2LEDAX_BEHAVE;

7 Segment Anzeige: VHDL Praktikum

Arbeitsauftrag

Erstellen Sie eine Wahrheitstabelle für die Ansteuerung einer 7 Segment Anzeige.

Fragen und Diskussion

Kann es bei der Zahlenumwandlung Rundungsfehler geben?
Warum umfasst die ASCII Tabelle nur 128 Zeichen?
Warum ist der Gray Code robuster als der Dualcode?
Was ist eine 7 Segment Anzeige?
Wie rechnen Sie am effektivsten eine Dezimalzahl in eine Dualzahl um?

08 Minimalformen

Rationale Zahlen,Gleitkommadarstellung,BCD-Code, Word,Byte,Hexadezimalzahl,MSB, Zahlenumwandlung,Zweierkomplement,ASCII, Gray-Code, Thermometercode, 7 Segment Anzeige

2020 03 15 Digitaltechnik 07 Zeichen und Codes Prof. Dr. Joerg Vollrath

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ASCII Codierung

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Gray-Code und Thermometercode

Gray-Code Robustheit

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7 Segment Anzeige: Hexadezimalzahlen

7 Segment Anzeige: VHDL

7 Segment Anzeige: VHDL Praktikum

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